Bedste svar
Antag, at vi har et sæt N numeriske værdier \ {x\_i \}. Deres gennemsnit er defineret som \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Vi kan omskrive venstre side som
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Træk LHS fra begge sider, så 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Vi kan gange begge sider med N for at få 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x, og det er en god egenskab ved begrænsede summer (og visse uendelige summer), at deres vilkår kan omarrangeres vilkårligt uden at ændre summen. Da de to summer, der vises i denne sidste ligning, har det samme antal udtryk, kan vi især parre den i-term for hver sum og kombinere forskellen i summen til en enkelt sum af forskelle: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Dette resultat gælder også for midler over kontinuerlige fordelinger, hvor et sådant gennemsnit er defineret.
Hvad dette betyder er, at middelværdien \ bar x er nøjagtigt det tal, som “vægten” af data \ {x\_i \} er afbalanceret omkring – ved konstruktion. Skulle vi gå den anden vej og antage, at der er et antal x ^ * sådan, at \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (dvs. antag, at dette tal findes, der har denne egenskab og se om dette er konsistent eller veldefineret), at løse for x ^ * ville give den originale formel, vi brugte som definitionen af \ bar x.
Svar
Andre har påpeget det i termer af matematiske udtryk, og mit forsøg er snarere at nærme sig det intuitivt. Mens du tager middel, deler du summen af observationer med antallet af observationer, siger n. Egenskaben ved at dele noget er at gøre lig med dele i vores tilfælde n. Hold nu denne matematiske tænkning hat og lad os tage et velsmagende eksempel – I et samfund planlagde folk et sammenkomst, og alle skulle få kager fra deres huse. De fik dog ikke at vide, hvor meget de skulle medbringe. Så folk lavede deres egne antagelser og kom med forskellige mængder kager D\_i. Alle kagerne blev sat sammen, og de begyndte at omfordele den ligeligt (sige \ bar {d}) uanset hvad enhver person bragte. Så de, der bragte mere, fik lidt mindre til gengæld, mens de, der bragte mindre, fik lidt mere til gengæld. Nu er en ting sikker på, at den samlede mængde kage, der blev opnået, er den samme som mængden af kage, der er gået tabt, ellers har vi et større problem med loven om konservering af kager (masse) :-). Mængden af ekstra kage modtaget af en enkelt person er forskellen mellem D\_i – \ bar {d}. Denne mængde er -ve, og alle kagegevinster bidrager til et større -ve-beløb. På samme måde er D\_i – \ bar {d} for dem, der bragte ekstra kager, end de modtog en + ve-værdi, der opsummerer op til al den ekstra kage, der blev distribueret til kagevindere. Det samlede antal af disse to større beløb skal være 0.
Dette er hvad vi vil forstå.