Paras vastaus
Mikä on 1 jaettuna äärettömyyteen?
Kuten aina äärettömyyden kohdalla, sinun tulee soveltaa Bustanyn ”s Äärettömyyden sääntö :
Äärettömyys ja intuitio eivät sekoita
Joten poista intuitiosi ja kysy:
Mikä ääretön?
On olemassa useita tarkasti määriteltyjä äärettömyyksiä, mukaan lukien:
- Todellinen projektiojohto , jossa \ frac1 {\ infty} = 0;
- Laajennettu reaalilinja , jossa \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Järjestysnumerot missä vasen jako on eräänlainen määritelty, mutta oikea jakaminen ei toimi, joten \ frac1 {\ omega} on määrittelemätön; ja
- epätodelliset numerot missä jokaiselle transfiniitille Surrealistalle on olemassa äärettömän pieni multiplikatiivinen käänteinen, niin \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, mutta huomaa, että \ epsilon kaikille 0 \ in \ mathbb R.
Siksi ”mitä jaetaan äärettömyyteen” ei ole olemassa vastausta, ennen kuin määrität mitä ääretöntä tarkoitat.
Muuten, muiden väite, että ” ääretön ei ole numero ”on yksinkertaisesti väärä. Perinteisissä numerosarjoissa, kuten \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, ei ole transfiniittisiä numeroita, mutta transfiniittiset numerot ovat yleisiä numeroluokissa, kuten Ordinals, Cardinals tai Surreals. Melko yllättäen kenties matematiikassa ei ole yhtä määritelmää numerolle.
Vastaa
Ennen kuin jatkan kysymykseen vastaamiseen, haluaisin sanoa, että suurin osa kirjoista rajoissa laita määrittelemättömät muodot ” väärin ” tavalla (ainakin perusrajat kirjoista). Sanon niin, koska näissä lomakkeissa on jotain piilossa.
Seitsemän määrittelemätöntä muotoa, joista olet todennäköisesti lukenut, ovat: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Piilotettu asia : Kun kirjoitat \ frac {0} {0}, se tarkoittaa itse asiassa \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, missä \ rightarrow 0 tarkoittaa taipumusta nollaan tai lähestymistä siihen nollaan . Haluan myös huomauttaa, että \ rightarrow \ infty ja \ infty ovat vastaavia (mutta \ rightarrow 0 ja 0 eivät ole vastaavia merkintätapoja).
Kaikki tämä tarkoittaa sitä, että jos joudut arvioimaan \ frac {f (x)} {g (x)}, missä f (x) = g (x) = 0, vastauksesi olisi yksinkertaisesti ” jako ei ole määritelty ”(tämä eroaa määrittelemättömyydestä). Jos kuitenkin sinun on arvioitava \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, missä \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, se olisi määrittelemätön muoto, jolloin jatkat rajojen arviointia. Haluan lisätä, että määrittelemätön oleminen eroaa rajojen olemassaolosta. Toinen asia on, että kun raja on \ infty, se tarkoittaa myös, että rajaa ei ole. Löysin yleisen virheen, jonka opettajat (mistä opiskelin) tekevät, että he hyväksyvät molemmat: \ infty ja määrittelemättömät vastauksena kysymykseen \ frac {5} {0} (vaikka kontekstia ei ole rajoitettu). Oikea vastaus (ja ainoa vastaus) on ” jakamista nollalla ei ole määritetty ”.
Joten vastaus kysymykseesi riippuu siitä, miten koet merkinnän. Kysymys ei ole siitä, mikä on oikea (sitä varten sinun on todennäköisesti tutkittava rajojen kehityksen historiaa, etkä silti välttämättä löydä vastausta tai saatat huomata, että molemmat käsitykset ovat olemassa eri ”yhteisöissä”) Havaintoni mukaan sanoisin, että toimenpideohjelman muoto ei ole määrittelemätön ja sen arvo on 1 (luin merkinnän \ left (\ text {täsmällisesti} 1 \ oikea) ^ \ infty eikä \ vasen (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Korostan tämän hienovaraisuuden ymmärtämisen tärkeyttä, koska monet meistä jatkavat (panostan) arvioimaan (jonkin standardin mukaan) / perinteinen menetelmä) tyypin kysymykset: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (vain oikeanpuoleinen raja), kun vastauksen pitäisi olla selkeä näkyvissä ( ”tunnistamattomat” suluet tarkoittavat lattiatoimintoa).