Paras vastaus
Oletetaan, että meillä on joukko N numeerista arvoa \ {x\_i \}. Niiden keskiarvo määritellään \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Voimme kirjoittaa vasemman reunan uudestaan nimellä
\ displaystyle {\ qquad \ begin {tasaa *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {tasaa *}}
Vähennä LHS molemmilta puolilta niin, että 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Voimme kertoa molemmat puolet N: llä saadaksemme 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ x on rajallisten summien (ja tiettyjen äärettömien summien) mukava ominaisuus, että niiden ehdot voidaan järjestää mielivaltaisesti muuttamatta summan arvoa. Erityisesti, koska tässä viimeisessä yhtälössä esiintyvillä kahdella summalla on sama määrä termejä, voimme yhdistää kunkin summan i: n termin ja yhdistää summien erot yhdeksi erojen summaksi: \ summa\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Tämä tulos pätee myös keskiarvoihin jatkuvien jakaumien yli, jos sellainen keskiarvo on määritelty.
Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvo \ bar x on tarkalleen numero, jonka perusteella datan \ {x\_i \} ”painot” ovat tasapainossa – rakentaminen. Pitäisikö meidän mennä toista tietä, ja oletetaan, että on olemassa jokin numero x ^ *, joka \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (eli oletetaan, että on olemassa luku, jolla on tämä ominaisuus, ja katso tämä on johdonmukaista tai hyvin määriteltyä), ratkaisu x ^ *: lle antaisi alkuperäisen kaavan, jota käytimme \ bar x: n määritelmänä.
Vastaus
Muut ovat huomauttaneet sen termeillä matemaattisten lausekkeiden joukosta, ja yritän lähestyä sitä intuitiivisesti. Kun otat keskiarvon, jaat havaintojen summan havaintojen määrällä, sanotaan n. Jakson jakamisen ominaisuus on tehdä yhtäläiset osat tapauksessamme n. Pidä nyt tätä matemaattista ajatteluhattua ja otakaamme maistuva esimerkki – Yhteisössä ihmiset suunnittelivat tapaamista ja kaikkien piti saada kakkuja talostaan. Heille ei kuitenkaan kerrottu, kuinka paljon tuoda. Joten ihmiset tekivät omat olettamuksensa ja saivat erilaisen määrän kakkuja D\_i. Kaikki kakut koottiin yhteen ja he alkoivat jakaa sen takaisin tasaisesti (sanoa \ bar {d}) riippumatta siitä, mitä kukaan toi. Joten ne, jotka toivat enemmän, saivat vähän vähemmän vastineeksi, kun taas ne, jotka toivat vähemmän, saivat vähän enemmän vastineeksi. Nyt yksi asia on varma, että saadun kakun kokonaismäärä on sama kuin ”kadonneen” kakun määrä tai muuten meillä on suurempi ongelma kakkujen säilyttämislaista (massa) :-). Yksittäisen henkilön saaman ylimääräisen kakun määrä on D\_i – \ bar {d}: n ero. Tämä määrä on -ve ja kaikki kakun voittajat osallistuvat suurempaan -ve-summaan. Vastaavasti toisaalta niille, jotka toivat ylimääräisiä kakkuja kuin saivat D\_i – \ bar {d} on + ve-arvo, joka summautuu kaikkiin ylimääräisiin kakkuihin, jotka jaettiin kakkujen saajille. Näiden kahden isomman summan on oltava yhteensä 0.
Tämän haluamme ymmärtää.