Meilleure réponse
Si vous imaginez un arbre qui se ramifie pour montrer tous les mouvements possibles dans un jeu, le nombre de Shannon est fondamentalement juste la «surface» totale de larbre: cest la largeur de larbre (montrant toutes les options possibles des joueurs à chaque coup) multipliée par la profondeur de larbre (indiquant le nombre de mouvements nécessaires pour terminer le jeu).
Pour les échecs standard, le nombre de Shannon est estimé à 10 ^ 120, car il y a environ 33 choix quun joueur peut faire à chaque fois que cest son coup, et une partie déchecs moyenne durera environ 40 coups pour chaque joueur … donc le nombre de Shannon est (33 ^ 80), en dautres termes, 33 multiplié par lui-même 80 fois de suite:
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 *
33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 * 33 =
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 , 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
Le nombre de Shannon est une estimation un peu brut, car il ne tient pas compte des mouvements illégaux, redondants se déplace, stupide mouvements, des jeux qui vont sur un très longtemps, des fins de partie où chaque joueur na que 5 ou 6 coups légaux car ils nen ont quun ou 2 pièces restantes… mais cela vous rapproche toujours de ce que nous pensons être la complexité mathématique réelle des échecs.
Si vous agrandissiez le plateau et le remplissiez avec plus de pièces, alors vous élargiriez le largeur de larbre. À partir de la position de départ, après avoir développé deux pions pour permettre à vos évêques et à votre reine de sortir de la porte, vous auriez environ 18 mouvements de pion légaux + 6 mouvements de chevalier légaux + 12 mouvements légaux dévêque + 6 mouvements légaux de reine = 42 mouvements possibles au lieu de seulement 33 coups possibles. La vraie largeur moyenne est probablement un peu plus élevée que 42 parce que les premiers coups dun jeu comportent certaines des positions les plus exiguës; au fur et à mesure que le jeu avance, plus doptions souvrent.
Il est plus difficile de prévoir comment la durée du jeu serait affectée par le fait davoir plus de pièces et plus de carrés. Une hypothèse évidente est quun plateau plus grand signifiera des parties plus longues, mais les échecs sont très finement équilibrés en ce moment; Les blancs nont quun très petit avantage et de nombreux jeux se déroulent en un match nul parfait après une longue et longue bataille. Il est possible que l’ajout de pièces et de carrés supplémentaires comme vous le suggérez donne aux Blancs un très gros avantage qui pourrait déséquilibrer le jeu de sorte que les Blancs remportent la plupart des matchs en moins de 20 coups. Il est également possible que lajout de 32 carrés supplémentaires tout en ajoutant seulement 8 pièces supplémentaires conduise à des positions plus ouvertes (les évêques et les tours peuvent voyager librement à travers le tableau sans être bloqués par des pions), ce qui a tendance à favoriser des échanges plus rapides et des stratégies plus agressives qui sont concentré sur lobtention dun échec et mat rapide. Dans lensemble, je ne pense pas quil y ait de raison de sattendre à ce que vos modifications allongent la durée moyenne du jeu – cela pourrait être plus long ou plus court, et il ny a pas de moyen facile de le dire autre que de jouer à des milliers de jeux en utilisant vos nouvelles règles. .
Ainsi, le nouveau nombre de Shannon pour votre variante déchecs 10×10 serait probablement à peu près dans le sens approximatif de (45 ^ 80) = 10 ^ 130… environ un milliard de fois plus complexe mathématiquement que les échecs standard, mais pas nécessairement plus complexe ou satisfaisant du point de vue du plaisir humain.
Réponse
Le but du nombre de Shannon nest pas de trouver une estimation précise, mais de produire une borne inférieure cela reste incroyablement énorme, montrant quune approche par force brute pour résoudre les échecs serait à jamais impossible.
Shannon a supposé quil y avait environ 1000 coups et réponses possibles, et quune partie déchecs typique se compose denviron 40 coups pour chacun joueur. Cest le genre de calculs en arrière-plan qui sont utiles pour les expériences de pensée mais ne sont pas destinés à des résultats rigoureux. En tant que tel, il n’existe pas de définition précise du nombre de Shannon à part «c’est le nombre que Shannon a utilisé pour faire valoir un point».