최상의 답변
N 개의 숫자 값 \ {x\_i \}의 집합이 있다고 가정합니다. 평균은 \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N)으로 정의됩니다.
왼쪽을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ end {align *}}
양변에서 LHS를 빼서 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i-\ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
양변에 N을 곱하여 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i-\ sum\_ {i = 1} ^ N \ 막대 x, 그리고 합의 값을 변경하지 않고 항을 임의로 재 배열 할 수 있다는 것은 유한 합 (및 특정 무한 합)의 좋은 속성입니다. 특히,이 마지막 방정식에 나타나는 두 합은 동일한 수의 항을 갖기 때문에 각 합의 i 번째 항을 짝을 이루고 합의 차이를 단일 차이 합계로 결합 할 수 있습니다. \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i-\ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
이 결과는 평균에도 적용됩니다. 이러한 평균이 정의 된 연속 분포에 대한 것입니다.
이것은 평균 \ bar x가 정확히 데이터 \ {x\_i \}의 “가중치”가 균형을 이루는 숫자임을 의미합니다. 구성. 우리가 다른 길로 가야하고, \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0이되는 어떤 숫자 x ^ *가 있다고 가정합니다 (즉,이 속성을 가진이 숫자가 존재한다고 가정하고 이것은 일관성이 있거나 잘 정의되어 있습니다.) x ^ *를 풀면 \ bar x의 정의로 사용한 원래 공식이 산출됩니다.
Answer
다른 사람들은 용어로 지적했습니다. 수학적 표현과 제 시도는 오히려 직관적으로 접근하는 것입니다. 평균을 취하는 동안 관측 값의 합계를 관측 값 수로 나눕니다. 무언가를 나누는 속성은 우리의 경우 n에서 같은 부분을 만드는 것입니다. 자,이 수학적 사고 모자를 들고 맛있는 예를 들어 보겠습니다. 커뮤니티에서 사람들은 모임을 계획하고 있었고 모두가 집에서 케이크를 가져와야했습니다. 그래도 얼마를 가져와야하는지에 대해서는 듣지 못했습니다. 그래서 사람들은 자신의 가정을하고 다른 양의 케이크 D\_i를 가지고 왔습니다. 모든 케이크를 모아 개인이 무엇을 가져 왔는지에 관계없이 균등하게 (\ bar {d}) 다시 배포하기 시작했습니다. 따라서 더 많이 가져온 사람은 대가로 조금 더 적게받는 반면, 덜 가져 오는 사람은 더 많이 얻었습니다. 이제 한 가지 확실한 것은, 얻은 케이크의 총량이“잃어버린”케이크의 양과 같거나 그렇지 않으면 케이크 보존 법칙 (질량)의 더 큰 문제가 있습니다. :-). 한 사람이받는 추가 케이크의 양은 D\_i-\ bar {d}의 차이입니다. 이 수량은 -ve이며 모든 케이크 획득자는 더 큰 -ve 합계에 기여합니다. 마찬가지로 D\_i-\ bar {d}를받은 것보다 더 많은 케이크를 가져온 사람들의 경우, 케이크 획득자에게 배포 된 모든 여분의 케이크를 더한 + ve 값입니다. 이 두 개의 더 큰 합계는 0이어야합니다.
이것이 우리가 이해하고 싶은 것입니다.