Beste antwoord
Wat is 1 gedeeld door oneindig?
Zoals altijd bij “oneindigheid” moet u Bustany “s Regel van oneindigheid toepassen:
Infinity en Intuition doen dat niet mix
Dus gooi je intuïtie eruit en vraag:
Welke oneindigheid?
Er zijn een aantal goed gedefinieerde oneindigheden, inclusief die in:
- De Echte projectieve lijn waarbij \ frac1 {\ infty} = 0;
- De Uitgebreide reële lijn waar \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- De rangtelwoorden waarbij links delen is min of meer gedefinieerd, maar de juiste verdeling werkt niet, dus \ frac1 {\ omega} is niet gedefinieerd; en
- De Surrealistische getallen waar een oneindig veelvoud aan inverse bestaat voor elke transfinite Surreal, dus \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, maar merk op dat \ epsilon voor alle 0 \ in \ mathbb R.
Daarom is er geen specifiek antwoord op “wat is één gedeeld door oneindig” totdat je specificeert welke oneindigheid je bedoelt.
Tussen haakjes, de bewering van anderen dat ” oneindigheid is geen getal ”is gewoon niet juist. Er zijn geen transfiniete getallen in de traditionele getallenverzamelingen zoals \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, maar transfiniete getallen zijn gebruikelijk in getallenklassen zoals de Ordinals, Cardinals of Surreals. Het is misschien wat verrassend dat er in wiskunde geen enkele definitie van getal is.
Antwoord
Voordat ik verder ga met het beantwoorden van de vraag, zou ik willen zeggen dat de meeste boeken over limieten zet de onbepaalde vormen op een “ verkeerde ” manier (tenminste de elementaire boeken over limieten). Ik zeg het omdat er iets verborgen zit in die formulieren.
De zeven onbepaalde formulieren waarover je waarschijnlijk hebt gelezen zijn: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Het verborgen ding : wanneer u \ frac {0} {0} schrijft, betekent het eigenlijk \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, waarbij \ rightarrow 0 betekent neigt naar of nadert nul . Ik zou er ook op willen wijzen dat \ rightarrow \ infty en \ infty equivalent zijn (maar \ rightarrow 0 en 0 zijn niet equivalent qua notatie).
Dit alles betekent dat als je moet evalueren \ frac {f (x)} {g (x)}, waarbij f (x) = g (x) = 0, dan is je antwoord gewoon “ divisie is niet gedefinieerd “(dit is iets anders dan onbepaald zijn). Als je echter \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)} moet evalueren, waarbij \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, dan zou dat een onbepaalde vorm zijn, in welk geval je verder gaat met het evalueren van de limieten. Ik zou hieraan willen toevoegen dat onbepaald zijn iets anders is dan het bestaan van grenzen. Een ander ding is dat wanneer de limiet \ infty is, dit ook betekent dat de limiet niet bestaat. Een veelgemaakte fout die ik heb gevonden welke leraren (van waar ik heb geschoold) maken, is dat ze beide accepteren: \ infty en onbepaald als antwoord op een vraag als \ frac {5} {0} (zelfs als de context geen limiet is). Het juiste antwoord (en het enige antwoord) is “ delen door nul is niet gedefinieerd “.
Het antwoord op uw vraag hangt dus af van hoe u de notatie ervaart. De vraag is hier niet welke de juiste is (daarvoor moet je waarschijnlijk de geschiedenis van de evolutie van limieten bestuderen, en misschien vind je nog steeds geen antwoord of je zult ontdekken dat beide perceptie in verschillende gemeenschappen bestaat) . Met mijn perceptie zou ik zeggen dat de vorm in het OP niet onbepaald is en resulteert in 1 (ik lees de notatie als \ left (\ text {exact} 1 \ right) ^ \ infty in tegenstelling tot \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Ik benadruk het belang van het begrijpen van deze subtiliteit, omdat velen van ons daadwerkelijk zullen doorgaan (ik wed) om te evalueren (volgens een bepaalde standaard / conventionele methode) de vragen van het type: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (alleen de rechterlimiet) wanneer het antwoord duidelijk moet zijn ( de “niet-herkende” beugels staan voor de vloerfunctie).