Melhor resposta
Na expressão de 1! a 200 !, todos os números serão divisíveis por 14, exceto os 6 primeiros termos. Por quê?
- 14 = 2 \ vezes 7
- Agora 7 não está aí para 6 !.
Então, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! +… .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! +… .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Resposta )
Resposta
Existem muitas perguntas desse tipo no Quora. Eles geralmente não requerem nenhuma visão profunda para serem dominados.
A principal coisa a lembrar é que a exponenciação é cíclica sob um módulo. Só temos que descobrir o quão grande é esse ciclo, o que pode ser feito simplesmente experimentando.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( neste ponto, podemos notar que 16 = -1 módulo 17 e pare, mas vamos continuar.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
Agora, o outro fato de que precisamos é que x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Porque 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. Usando o cálculo acima, 2 ^ 8 = 1 mod 17, então 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Em seguida, adicionamos um para obter o resultado final, que é 3.
Suponha que queremos apenas calcular a resposta “diretamente”. É viável faça isso com quadratura repetida — o que é útil em aplicações onde o módulo pode ser grande o suficiente para que não concluamos nem mesmo um único ciclo. A base desta técnica é que x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Representa o expoente em binário. Sempre que o dígito binário mais à esquerda for um, multiplicaremos por x. Então, sempre que avançamos para o próximo dígito, elevamos ao quadrado o valor atual.
Neste caso, 2017 = 11111100001b. Tomando cada dígito sucessivamente (e começando com o valor inicial “1”):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
Isso concorda com nosso cálculo anterior de que 2 ^ {2017} = 2 mod 17.