Jaka pozostała część zostanie uzyskana, gdy 1! + 2! +… + 200! Czy jest podzielone przez 14?


Najlepsza odpowiedź

W wyrażeniu z 1! do 200 !, wszystkie liczby będą podzielne przez 14 z wyjątkiem pierwszych 6 terminów. Dlaczego?

  • 14 = 2 \ times 7
  • Teraz 7 nie ma do 6 !.

A więc R [\ dfrac {1! + 2! + 3! +… .. + 200!} {14}]

= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! +… .. + 200! )} {14}]

= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]

= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0

= R [\ dfrac {873} {14}]

= 5 ( Odpowiedź )

Odpowiedź

W Quorze jest wiele tego rodzaju pytań. Generalnie nie wymagają one żadnego głębokiego wglądu do opanowania.

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że potęgowanie jest cykliczne poniżej modułu. Musimy tylko dowiedzieć się, jak duży jest ten cykl, co można zrobić po prostu wypróbowując go.

2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( w tym miejscu moglibyśmy zauważyć, że 16 = -1 modulo 17 i zatrzymajmy się, ale kontynuujmy.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1

Teraz potrzebujemy innego faktu, że x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Ponieważ 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. Używając powyższego obliczenia, 2 ^ 8 = 1 mod 17, więc 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.

Następnie dodajemy jeden, aby uzyskać końcowy wynik, który wynosi 3.

Załóżmy, że chcemy po prostu obliczyć odpowiedź „bezpośrednio”. Jest to wykonalne zrób to z powtarzającym się podnoszeniem do kwadratu — co jest przydatne w zastosowaniach, w których moduł może być na tyle duży, że nie ukończymy nawet jednego cyklu. Podstawą tej techniki jest to, że x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Przedstaw wykładnik w postaci binarnej. Za każdym razem, gdy cyfra binarna znajdująca się najbardziej po lewej stronie to jeden, pomnożymy przez x. Następnie za każdym razem, gdy przejdziemy do następnej cyfry, podnieś aktualną wartość do kwadratu.

W tym przypadku 2017 = 11111100001b. Biorąc po kolei każdą cyfrę (i zaczynając od wartości początkowej „1”):

1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2

Jest to zgodne z naszymi wcześniejszymi obliczeniami, że 2 ^ {2017} = 2 mod 17.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *