Legjobb válasz
Az 1-es kifejezésben! 200-ig!, az összes szám osztható 14-vel, az első 6 tag kivételével. Miért?
- 14 = 2-szer 7
- Most 7 nincs “6-ig”.
Tehát, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! + … .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! + … .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Válasz )
Válasz
Nagyon sok ilyen kérdés van a Quorán. Általában nincs szükségük mély bepillantásra az elsajátításhoz.
Elsősorban arra kell emlékezni, hogy a hatványozás modulus alatt ciklikus. Csak ki kell találnunk, hogy mekkora ez a ciklus, amelyet egyszerűen kipróbálhatunk.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( ezen a ponton megjegyezhetjük, hogy 16 = -1 modulo 17 és megáll, de hagyjuk, hogy folytatódjanak. 2 2 = 5 = 32 = 15 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
A másik tény, amire szükségünk van, az az, hogy x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Mert 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. A fenti számítás segítségével 2 ^ 8 = 1 mod 17, tehát 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Ezután hozzáadunk egyet, hogy megkapjuk a végeredményt, ami 3.
Tegyük fel, hogy csak “közvetlenül” szeretnénk kiszámolni a választ. Megvalósítható ezt tegye megismételve négyzetekkel – ami hasznos azokban az alkalmazásokban, ahol a modulus elég nagy lehet ahhoz, hogy egyetlen ciklust sem teljesítsünk. Ennek a technikának az alapja, hogy x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Reprezentálja a kitevőt binárisan. Bármikor a baloldali bináris számjegy egy, szorozzuk x-szel. Ezután, amikor a következő számjegyre megyünk, négyzetezze az aktuális értéket.
Ebben az esetben 2017 = 11111100001b. Minden számjegy felvétele egymás után (és kezdve az “1” kezdőértékkel):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
Ez egyetért korábbi számításunkkal, miszerint 2 ^ {2017} = 2 mod 17.