Paras vastaus
Lausekkeessa 1! 200: een, kaikki numerot jaetaan 14: llä, lukuun ottamatta ensimmäisiä 6 termiä. Miksi?
- 14 = 2 \ kertaa 7
- Nyt 7 ei ole enempää kuin 6 !.
Joten, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! +… .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! + … .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Vastaa )
Vastaa
Quorassa on paljon tällaisia kysymyksiä. Ne eivät yleensä vaadi syvällistä oivallusta hallitsemiseksi.
Ensisijainen asia on muistaa, että eksponentio on syklinen moduulin alla. Meidän on vain selvitettävä, kuinka suuri sykli on, mikä voidaan tehdä yksinkertaisesti kokeilemalla sitä.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( tässä vaiheessa voimme huomata, että 16 = -1 moduuli 17 ja pysähtyy, mutta jatkakaamme.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
Nyt tarvitsemme toisen tosiasian, että x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Koska 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. Yllä olevaa laskutoimitusta käyttämällä 2 ^ 8 = 1 mod 17, joten 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Sitten lisätään yksi saadaksemme lopputuloksen, joka on 3.
Oletetaan, että haluamme vain laskea vastauksen ”suoraan”. On mahdollista tee tämä toistuvalla neliöimisellä — mikä on hyödyllistä sovelluksissa, joissa moduuli voi olla riittävän suuri, jotta emme toteuta edes yhtä jaksoa. Tämän tekniikan perusta on, että x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Edustaa eksponenttia binäärimuodossa. Aina kun vasemmanpuoleisin binäärinumero on yksi, kerrotaan x: llä. Sitten, kun siirrymme seuraavaan numeroon, neliö nykyinen arvo.
Tässä tapauksessa 2017 = 11111100001b. Jokainen numero otetaan vuorotellen (ja aloitetaan alkuarvolla ”1”):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
Tämä on sopusoinnussa aikaisemman laskelmamme kanssa, jonka mukaan 2 ^ {2017} = 2 mod 17.