Beste antwoord
In de uitdrukking van 1! tot 200! zullen alle getallen deelbaar zijn door 14 behalve de eerste 6 termen. Waarom?
- 14 = 2 \ tijden 7
- Nu is 7 niet hoger dan 6 !.
Dus, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! +… .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! +… .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Antwoord )
Antwoord
Er zijn veel van dit soort vragen op Quora. Ze hebben over het algemeen geen diep inzicht nodig om onder de knie te krijgen.
Het belangrijkste om te onthouden is dat machtsverheffen cyclisch is onder een modulus. We moeten gewoon uitzoeken hoe groot die cyclus is, wat we kunnen doen door hem gewoon uit te proberen.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( op dit punt konden we opmerken dat 16 = -1 modulo 17 en stop, maar laten we doorgaan.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
Het andere feit dat we nodig hebben is dat x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Omdat 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. Met behulp van de bovenstaande berekening, 2 ^ 8 = 1 mod 17, dus 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Vervolgens voegen we er een toe om het eindresultaat te krijgen, namelijk 3.
Stel dat we het antwoord gewoon “rechtstreeks” willen berekenen. Het is mogelijk om doe dit met herhaalde kwadratuur — wat handig is in toepassingen waar de modulus groot genoeg kan zijn dat we zelfs geen enkele cyclus voltooien. De basis van deze techniek is dat x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Vertegenwoordig de exponent in binair getal. Elke keer dat het meest linkse binaire cijfer één is, zullen we vermenigvuldigen met x. Telkens wanneer we naar het volgende cijfer gaan, kwadrateren we de huidige waarde.
In dit geval 2017 = 11111100001b. Elk cijfer om de beurt nemen (en beginnen met de beginwaarde “1”):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
Dit komt overeen met onze eerdere berekening dat 2 ^ {2017} = 2 mod 17.