Cel mai bun răspuns
Ce este 1 împărțit la infinit?
Ca întotdeauna cu „infinit”, ar trebui să aplicați Bustany „s Rule of Infinity :
Infinity și Intuition nu amestecă
Deci, scoate-ți intuiția și întreabă:
Care infinit?
Există un număr de infinități bine definite, inclusiv cele din:
- Linia proiectivă reală unde \ frac1 {\ infty} = 0;
- Linie reală extinsă unde \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Numerele ordinale unde a lăsat diviziunea este definit ca un fel, dar diviziunea dreaptă nu funcționează, astfel încât \ frac1 {\ omega} este nedefinit; a> unde există un invers multiplicativ infinitesimal pentru fiecare suprarealit transfinit, deci \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, dar rețineți că \ epsilon pentru toate 0 \ în \ mathbb R.
Prin urmare, nu există un răspuns specific la „ceea ce este unul împărțit la infinit” până când nu specificați la ce infinit vrei să spui.
Apropo, afirmația făcută de alții că „ infinitul nu este un număr ”este pur și simplu incorect. Nu există numere transfinite în seturile tradiționale de numere, cum ar fi \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, dar numerele transfinite sunt obișnuite în clasele de numere, cum ar fi ordinalii, cardinali sau suprafețe. Mai degrabă surprinzător, poate, nu există o definiție unică a „numărului” în matematică.
Răspuns
Înainte de a răspunde la întrebare, aș dori să spun că majoritatea cărților pe limite puneți formele nedeterminate într-un mod „ greșit ” (cel puțin cărțile elementare despre limite). Spun asta pentru că există ceva ascuns în aceste forme.
Cele șapte forme nedeterminate despre care probabil ați citit sunt: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Lucrul ascuns : Când scrieți \ frac {0} {0} înseamnă de fapt \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, unde \ rightarrow 0 înseamnă care se îndreaptă spre sau se apropie de zero . Aș dori, de asemenea, să subliniez că \ rightarrow \ infty și \ infty sunt echivalente (dar \ rightarrow 0 și 0 nu sunt echivalente din punct de vedere al notației).
Ce înseamnă toate acestea este că dacă trebuie să evaluezi \ frac {f (x)} {g (x)}, unde f (x) = g (x) = 0, atunci răspunsul dvs. ar fi pur și simplu „ diviziunea nu este definit „(acest lucru este diferit de a fi nedeterminat). Cu toate acestea, dacă trebuie să evaluați \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, unde \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, atunci aceasta ar fi o formă nedeterminată, caz în care procedați la evaluarea limitelor. Aș dori să adaug că a fi nedeterminat este diferit de existența limitelor. Un alt lucru este că, atunci când limita este \ infty, înseamnă, de asemenea, că limita nu există. O eroare obișnuită pe care am constatat-o pe care o fac profesorii (de unde am făcut școala) este că acceptă atât: \ infty cât și nedeterminat, ca răspuns la o întrebare precum \ frac {5} {0} (chiar și atunci când contextul nu este limitat). Răspunsul corect (și singurul răspuns) este „ divizarea la zero nu este definită ”.
Deci, răspunsul la întrebarea dvs. depinde de modul în care percepeți notația. Întrebarea de aici nu este despre care dintre ele este corectă (pentru asta va trebui probabil să studiați istoria evoluției limitelor și este posibil să nu găsiți încă un răspuns sau puteți constata că atât percepția există în diferite „comunități”) Cu percepția mea, aș spune că forma din OP nu este nedeterminată și se evaluează la 1 (am citit notația ca \ left (\ text {exact}) 1 \ right) ^ \ infty spre deosebire de \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Subliniez importanța înțelegerii acestei subtilități, deoarece mulți dintre noi vom proceda (pariez) la evaluare (după un standard) / metoda convențională) întrebările de tipul: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (doar limita dreaptă) când răspunsul ar trebui să fie clar la vedere ( parantezele „nerecunoscute” reprezintă funcția de podea).