Nejlepší odpověď
Ve výrazu od 1! na 200 !, všechna čísla budou dělitelná 14 kromě prvních 6 volebních období. Proč?
- 14 = 2 \ krát 7
- Nyní 7 tam není až 6 !.
Takže, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! +… .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! + …. + 6!) + (7! + 8! + … .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! + …. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Odpověď )
Odpověď
Na Quora existuje spousta otázek tohoto druhu. Pro zvládnutí obecně nevyžadují žádný hluboký vhled.
Primární věc, kterou si musíte pamatovat, je, že umocňování je pod modulem cyklické. Musíme jen přijít na to, jak velký je tento cyklus, což lze provést jednoduchým vyzkoušením.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( v tomto okamžiku bychom mohli poznamenat, že 16 = -1 modulo 17 a zastavit, ale pojďme dál.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
Další fakt, který potřebujeme, je, že x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Protože 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. Pomocí výše uvedeného výpočtu 2 ^ 8 = 1 mod 17, takže 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Potom přidáme jeden, abychom získali konečný výsledek, který je 3.
Předpokládejme, že chceme vypočítat odpověď „přímo“. Je možné udělejte to opakovaným čtvercem — což je užitečné v aplikacích, kde modul může být dostatečně velký, abychom nedokončili ani jeden cyklus. Základem této techniky je, že x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Představte exponenta v binárním formátu. Kdykoli je binární číslice zcela vlevo jedna, vynásobíme x. Pak kdykoli přejdeme na další číslici, zaokrouhlíme aktuální hodnotu.
V tomto případě 2017 = 11111100001b. Postupné přijímání každé číslice (a počínaje počáteční hodnotou „1“):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0:13 ^ 2 = 16 0:16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
To souhlasí s naším dřívějším výpočtem, že 2 ^ {2017} = 2 mod 17.