Bedste svar
I udtrykket fra 1! til 200 !, kan alle numre deles med 14 undtagen de første 6 termer. Hvorfor?
- 14 = 2 \ gange 7
- Nu er 7 ikke der op til 6 !.
Så, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! + … .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! +… .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Svar )
Svar
Der er mange spørgsmål af denne slags på Quora. De kræver generelt ikke nogen dyb indsigt for at mestre.
Den primære ting at huske er, at eksponentiering er cyklisk under et modul. Vi skal bare finde ud af, hvor stor denne cyklus er, hvilket kan gøres ved blot at prøve den.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( på dette tidspunkt kunne vi bemærke, at 16 = -1 modulo 17 og stop, men lad os fortsætte.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
Nu er den anden kendsgerning, vi har brug for, at x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Fordi 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. Brug beregningen ovenfor, 2 ^ 8 = 1 mod 17, så 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Derefter tilføjer vi en for at få det endelige resultat, som er 3.
Antag, at vi bare vil beregne svaret “direkte”. Det er muligt at gør dette med gentagen kvadrat — hvilket er nyttigt i applikationer, hvor modulet kan være stort nok til, at vi ikke fuldfører selv en enkelt cyklus. Grundlaget for denne teknik er, at x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Repræsentere eksponenten i binær. Hver gang det binære ciffer længst til venstre er et, multiplicerer vi med x. Hver gang vi går videre til det næste ciffer, skal du firkantede den aktuelle værdi.
I dette tilfælde 2017 = 11111100001b. Ved at tage hvert ciffer i skift (og starte med startværdien “1”):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
Dette stemmer overens med vores tidligere beregning, at 2 ^ {2017} = 2 mod 17.