Mejor respuesta
¡Sí! Hay un método que es exactamente el inverso de la regla de la cadena, yo lo llamo el «método de absorción».
Conocimientos previos:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f «\ left (x \ right) \, dx
Aquí está el truco:
\ displaystyle \ quad \ int {f» \ left (g \ left (x \ right) \ right) g «\ left (x \ right) \, dx}
= \ Displaystyle \ int {f» \ left (g \ left (x \ right ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Siempre podemos comprobar la respuesta haciendo entonces:
\ Displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f «\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g «\ left (x \ right)
Esta técnica es muy poderosa al resolver integrales.
El primer ejemplo: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Podemos evaluarlo así:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ Displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ Displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Aquí, el 2x está siendo «absorbido» por dx, luego dx se convierte en d \ left (x ^ 2 \ right).
Podemos «absorber» aún más el e ^ {x ^ 2} en d \ left (x ^ 2 \ right) y la ecuación completa se convierte en: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ right)}
Quite \ int, d y los corchetes, y finalmente agregue una C en la parte posterior, ¡entonces se muestra la respuesta!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
El segundo ejemplo: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Sabemos que \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, por lo que toda la integral se convierte en \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Ahora podemos «absorber» el \ sin x para que dx se convierta en d \ left (- \ cos x \ right).
Entonces toda la ecuación se convierte en \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Toma el signo negativo (-) delante de \ int, y se convierte en \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Además «absorbemos» el \ frac 1 {\ cos x} en d \ left (\ cos x \ right) tal que
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Por lo tanto, la respuesta final es – \ ln | \ cos x | + C, o \ ln | \ sec x | + C. Es el mismo principio para \ cot x.
El tercer ejemplo: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Multiplicamos \ sec x con \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} tal que \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Ahora podemos «absorber» \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x para que dx se convierta en d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Entonces toda la ecuación se convierte en \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Además, «absorbemos» el \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} en d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) de modo que
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Por lo tanto, la respuesta final es \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Es el mismo principio para \ csc x.
El último ejemplo: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Dado que 5 es una constante, puede «crearlo» de la nada.
Por lo tanto,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Luego, integra la función como de costumbre.
La respuesta final: \ ln | x + 5 | + C .
Este método es mucho más simple y más fácil de entender.
Respuesta
Al igual que «existe una regla en cadena para la diferenciación,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g «(x) f» (g (x))
Existe una «regla de la cadena inversa» para integración.
En otras palabras, si desea integrar una función de la forma
\ displaystyle \ int {g «(x) f» (g (x)) dx}
Su solución sería f (g (x)), según la regla de la cadena para la diferenciación.
Esto significa que puede generalizar esta técnica para calcular integrales donde hay alguna función dentro de otra función, como en un exponente, dentro de una función trigonométrica, etc. Esta técnica se llama d-sustitución.
Aquí tienes un ejemplo. Suponga que desea encontrar la siguiente integral:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Tenga en cuenta que fuera de la exponencial, tiene la derivada de qué » s dentro del exponente, a saber, 2x y x ^ 2.
Debido a esto, estableceremos u = x ^ 2. Ahora, de alguna manera, la derivada de u viene aquí, y queremos una forma de convertir nuestra integral en una integral en términos de u con respecto a u, por lo que necesitamos un du en alguna parte. Así es como lo obtendremos:
Tenga en cuenta que
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, entonces
\ displaystyle du = 2xdx
Por lo tanto, para integrar con respecto ay tener un du en nuestro integrando, solo necesitamos 2x veces dx, ¡y eso es exactamente lo que contiene nuestro integrando!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Se convierte en lo siguiente con u = x ^ 2 y du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
¡Ahora podemos integrarnos normalmente!Luego, debemos volver a sustituir u si hay algún límite de integración para conectar.
Aquí hay otro ejemplo más avanzado. Busque
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Considerando que \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, la integral se convierte en
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Podemos establecer u = \ cos (x) ya que su derivada es solo seno (multiplicado por una constante, -1), lo que nos permite introducir nuestro du. Eso significa que du = – \ sin (x) dx, por lo que
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Esto ahora se puede integrar normalmente, con la respuesta final siendo – \ ln | \ cos (x ) | + C.