Beste svaret
Ja! Det er en metode som er nøyaktig omvendt av kjederegel, jeg kaller den «absorpsjonsmetoden».
Forkunnskap:
d \ left (f \ left (x \ høyre) \ høyre) = f «\ venstre (x \ høyre) \, dx
Her er trikset:
\ displaystyle \ quad \ int {f» \ left (g \ venstre (x \ høyre) \ høyre) g «\ venstre (x \ høyre) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f» \ venstre (g \ venstre (x \ høyre) ) \ høyre) \, d \ venstre (g \ venstre (x \ høyre) \ høyre)}
= \ displaystyle \ int {d \ venstre (f \ venstre (g \ venstre (x \ høyre) ) \ høyre) \ høyre)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Vi kan alltid sjekke svaret ved å gjøre så:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f «\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g «\ left (x \ right)
Denne teknikken er veldig kraftig når du løser integraler.
Det første eksemplet: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Vi kan evaluere det slik:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Her blir 2x “absorbert” av dx, så blir dx d \ left (x ^ 2 \ right).
Vi kan videre «absorbere» e ^ {x ^ 2} i d \ left (x ^ 2 \ right) og hele ligningen blir: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ høyre)}
Fjern \ int, d og parenteser, og til slutt legger du til en C bak, så vises svaret!
dvs. \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Det andre eksempelet: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Vi vet at \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, så hele integralen blir \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Vi kan nå «absorbere» \ sin x slik at dx blir d \ left (- \ cos x \ right).
Så blir hele ligningen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Ta det negative tegnet (-) foran \ int, og det blir \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Vi «absorberer» videre \ frac 1 {\ cos x} i d \ left (\ cos x \ right) slik at
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Derfor er det endelige svaret – \ ln | \ cos x | + C, eller \ ln | \ sek x | + C. Det er det samme prinsippet for \ cot x.
Det tredje eksemplet: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Vi multipliserer \ sec x med \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} slik at \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Vi kan nå «absorbere» \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x slik at dx blir d \ left (\ tan x + \ sec x \ right
Så blir hele ligningen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Vi absorberer videre \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} i d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) slik at
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Derfor er det endelige svaret \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Det er det samme prinsippet for \ csc x.
Det siste eksemplet: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Siden 5 er en konstant, kan «opprette» det ut av luften.
Derfor,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ venstre (x + 5 \ høyre)} {x + 5}.
Integrer deretter funksjonen som vanlig.
Det endelige svaret: \ ln | x + 5 | + C .
Denne metoden er mye enklere og lettere å forstå.
Svar
Akkurat som hvordan det er en kjederegel for differensiering,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g «(x) f» (g (x))
Det er en «invers kjederegel» for integrasjon.
Med andre ord, hvis du vil integrere en funksjon av skjemaet
\ displaystyle \ int {g «(x) f» (g (x)) dx}
Dens løsning vil være f (g (x)), i henhold til kjederegelen for differensiering.
Dette betyr at du kan generalisere denne teknikken for å beregne integraler der det er noen funksjon inne i en annen funksjon, for eksempel i en eksponent, inne i en trig-funksjon, etc. Denne teknikken er calle d u-substitusjon.
Her er et eksempel. Anta at du vil finne følgende integral:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Merk at utenfor eksponentiellet har du avledet av hva » s inne i eksponenten, nemlig 2x og x ^ 2.
På grunn av dette setter vi u = x ^ 2. Nå på en eller annen måte kommer derivatet av u inn her, og vi vil ha en måte å konvertere vår integral til en integral når det gjelder u med hensyn til u, så vi trenger en du der inne et eller annet sted. Slik får vi det:
Merk at
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, så
\ displaystyle du = 2xdx
For å integrere med hensyn til u og ha en du i vår integrand, vi trenger bare 2x ganger dx, og det er nøyaktig hva integranden vår inneholder!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Blir følgende med u = x ^ 2 og du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Nå kan vi bare integrere normalt!Etterpå må vi erstatte u igjen hvis det er noen grenser for integrering å plugge inn.
Her er et annet, mer avansert eksempel. Finn
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Med tanke på at \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, blir integralet
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Vi kan sette u = \ cos (x) siden dens derivat bare er sinus (multiplisert med en konstant, -1), som lar oss få vår du der inne. Det betyr at du = – \ sin (x) dx, så
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Dette kan nå integreres normalt, med det endelige svaret – \ ln | \ cos (x ) | + C.