Vi har kæderegel i differentiering. Er der en lignende regel i integration?

Bedste svar

Ja! Der er en metode, der er nøjagtig omvendt af kæderegel, jeg kalder det “absorptionsmetoden”.

Forudgående viden:

d \ left (f \ left (x \ højre) \ højre) = f “\ venstre (x \ højre) \, dx

Her er tricket:

\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ venstre (x \ højre) \ højre) g “\ venstre (x \ højre) \, dx}

= \ displaystyle \ int {f” \ venstre (g \ venstre (x \ højre) ) \ højre) \, d \ venstre (g \ venstre (x \ højre) \ højre)}

= \ displaystyle \ int {d \ venstre (f \ venstre (g \ venstre (x \ højre) ) \ højre) \ højre)}

= \ displaystyle f \ venstre (g \ venstre (x \ højre) \ højre) + C

Vi kan altid kontrollere svaret ved at gøre så:

\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f “\ left (g \ left ( x \ højre) \ højre) g “\ venstre (x \ højre)

Denne teknik er meget kraftfuld til løsning af integraler.

Det første eksempel: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}

Vi kan evaluere det sådan:

\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}

= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}

= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}

Her bliver 2x ”absorberet” af dx, så bliver dx d \ left (x ^ 2 \ right).

Vi kan yderligere “absorbere” e ^ {x ^ 2} i d \ left (x ^ 2 \ højre), og hele ligningen bliver: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ højre)}

Fjern \ int, d og parenteserne, og til sidst tilføj et C bagpå, så vises svaret!

dvs. \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.

Det andet eksempel: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}

Vi ved, at \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, så hele integralet bliver \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.

Vi kan nu “absorbere” \ sin x, så dx bliver d \ left (- \ cos x \ right).

Derefter bliver hele ligningen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.

Tag det negative tegn (-) foran \ int, og det bliver \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.

Vi “absorberer” yderligere \ frac 1 {\ cos x} i d \ left (\ cos x \ højre) sådan at

\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.

Derfor er det endelige svar – \ ln | \ cos x | + C eller \ ln | \ sec x | + C. Det er det samme princip for \ cot x.

Det tredje eksempel: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}

Vi ganger \ sec x med \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} sådan at \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.

Vi kan nu “absorbere” \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x, så dx bliver d \ left (\ tan x + \ sec x \ right

Derefter bliver hele ligningen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.

Vi “absorberer” yderligere \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} i d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) sådan at

\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.

Derfor er det endelige svar \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Det er det samme princip for \ csc x.

Det sidste eksempel: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}

Da 5 er en konstant, kan “oprette” det ud af luften.

Derfor

\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ venstre (x + 5 \ højre)} {x + 5}.

Integrer derefter funktionen som normalt.

Det endelige svar: \ ln | x + 5 | + C .

Denne metode er meget enklere og lettere at forstå.

Svar

Ligesom hvordan der er en kæderegel for differentiering,

\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f” (g (x))

Der er en “invers kæderegel” for integration.

Med andre ord, hvis du vil integrere en funktion af formularen

\ displaystyle \ int {g “(x) f” (g (x)) dx}

Dens løsning ville være f (g (x)) i henhold til kædereglen til differentiering.

Dette betyder, at du kan generalisere denne teknik til at beregne integraler, hvor der er en eller anden funktion inde i en anden funktion, såsom i en eksponent, inde i en trig-funktion osv. Denne teknik er calle d u-substitution.

Her er et eksempel. Antag at du vil finde følgende integral:

\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}

Bemærk, at uden for eksponentialet har du afledningen af ​​hvad ” s inde i eksponenten, nemlig 2x og x ^ 2.

På grund af dette indstiller vi u = x ^ 2. Nu på en eller anden måde kommer afledningen af ​​u ind her, og vi vil have en måde at konvertere vores integral til en integral med hensyn til u med hensyn til u, så vi har brug for en du derinde et eller andet sted. Sådan får vi det:

Bemærk, at

\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, så

\ displaystyle du = 2xdx

For at integrere med hensyn til u og have en du i vores integrand, vi har bare brug for 2x gange dx, og det er præcis, hvad vores integrand indeholder!

\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}

Bliver følgende med u = x ^ 2 og du = 2xdx:

\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}

Nu kan vi bare integrere normalt!Bagefter er vi nødt til at erstatte u igen, hvis der er nogen grænser for integration til at plugge.

Her er et andet, mere avanceret eksempel. Find

\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}

I betragtning af at \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} bliver integralet

\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}

Vi kan indstille u = \ cos (x), da dens afledte bare er sinus (ganget med en konstant, -1), hvilket giver os mulighed for at få vores du derinde. Det betyder, at du = – \ sin (x) dx, så

\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}

Dette kan nu integreres normalt, hvor det endelige svar er – \ ln | \ cos (x ) | + C.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *