Najlepsza odpowiedź
Tak! Istnieje „metoda” będąca dokładnie odwrotnością reguły łańcuchowej, nazywam ją „metodą absorpcji”.
Wcześniejsza wiedza:
d \ left (f \ left (x \ w prawo) \ w prawo) = f „\ lewo (x \ w prawo) \, dx
Oto sztuczka:
\ Displaystyle \ quad \ int {f” \ lewo (g \ lewo (x \ prawo) \ prawo) g „\ lewo (x \ prawo) \, dx}
= \ Displaystyle \ int {f” \ lewo (g \ lewo (x \ prawo ) \ prawej) \, d \ lewo (g \ lewo (x \ prawo) \ prawej)}
= \ Displaystyle \ int {d \ lewo (f \ lewo (g \ lewo (x \ prawo) ) \ w prawo) \ w prawo)}
= \ Displaystyle f \ lewo (g \ lewo (x \ prawo) \ prawo) + C
Zawsze możemy sprawdzić odpowiedź, robiąc tak:
\ Displaystyle \ Frac {d \ lewo (f \ lewo (g \ lewo (x \ prawo) \ prawo) \ prawo)} {dx} = f „\ lewo (g \ lewo ( x \ right) \ right) g „\ left (x \ right)
Ta technika jest bardzo potężna podczas rozwiązywania całek.
Pierwszy przykład: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Możemy to ocenić w ten sposób:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ Displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ lewo (2x \, dx \ prawej)}
= \ Displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Tutaj, 2x jest „absorbowane” przez dx, potem dx staje się d \ left (x ^ 2 \ right).
Możemy dalej „wchłonąć” e ^ {x ^ 2} do d \ lewo (x ^ 2 \ prawo), a całe równanie staje się: \ Displaystyle \ int {d \ lewo (e ^ {x ^ 2} \ right)}
Usuń \ int, di nawiasy, a na koniec dodaj C z tyłu, a odpowiedź zostanie wyświetlona!
tj. \ Displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Drugi przykład: \ Displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Wiemy, że \ tan x = \ Frac {\ sin x} {\ cos x}, więc cała całka staje się \ Displaystyle \ int {\ Frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Możemy teraz „wchłonąć” \ sin x tak, że dx staje się d \ lewo (- \ cos x \ prawej).
Wtedy całe równanie staje się \ Displaystyle \ int {\ Frac {d \ lewo (- \ cos x \ prawej)} {\ cos x}}.
Weź znak ujemny (-) przed \ int i staje się \ Displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Dalej „wchłaniamy” \ frac 1 {\ cos x} do d \ left (\ cos x \ po prawej) takie, że
\ Displaystyle- \ int {\ Frac {d \ lewo (\ cos x \ prawej)} {\ cos x}} = – \ int {d \ lewo (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Zatem ostateczna odpowiedź to – \ ln | \ cos x | + C lub \ ln | \ sec x | + C. To ta sama zasada dla \ cot x.
Trzeci przykład: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Mnożymy \ sec x with \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} takie, że \ Displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ Frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Możemy teraz „wchłonąć” \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x tak, że dx stanie się d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Wtedy całe równanie staje się \ Displaystyle \ int {\ Frac {d \ lewo (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Dalej „wchłaniamy” \ Frac 1 {\ tan x + \ s x} do d \ lewo (\ tan x + \ s x \ w prawo) takie, że
\ Displaystyle \ int {\ Frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Zatem ostateczna odpowiedź to \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. To ta sama zasada dla \ csc x.
Ostatni przykład: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Ponieważ 5 jest stałą, my może „stworzyć” go z powietrza.
Dlatego
\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {x + 5}} = \ int \ Frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Następnie jak zwykle zintegruj funkcję.
Ostateczna odpowiedź: \ ln | x + 5 | + C .
Ta metoda jest znacznie prostsza i łatwiejsza do zrozumienia.
Odpowiedź
Tak jak istnieje łańcuchowa reguła różniczkowania,
\ Displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g „(x) f” (g (x))
Istnieje „reguła odwrotnego łańcucha” dla Integracja.
Innymi słowy, jeśli chcesz zintegrować funkcję formy
\ Displaystyle \ int {g „(x) f” (g (x)) dx}
Jego rozwiązaniem byłoby f (g (x)), zgodnie z regułą łańcucha dla różniczkowania.
Oznacza to, że możesz uogólnić tę technikę do obliczania całek, gdy jest jakaś funkcja wewnątrz innej funkcji, na przykład w wykładniku, wewnątrz funkcji trygonometrycznej itp. Ta technika jest calle d u-podstawienie.
Oto przykład. Załóżmy, że chcesz znaleźć następującą całkę:
\ Displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Zauważ, że poza wykładniczą masz pochodną tego, co ” s wewnątrz wykładnika, a mianowicie 2x i x ^ 2.
Z tego powodu ustawimy u = x ^ 2. Teraz w jakiś sposób pochodna u jest tutaj i chcemy uzyskać sposób konwersji naszą całkę w całkę wyrażoną u względem u, więc potrzebujemy gdzieś du. Oto jak to uzyskamy:
Zauważ, że
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, więc
\ displaystyle du = 2xdx
Zatem, aby całkować względem u i mieć du w naszej całk. potrzebujemy tylko 2x razy dx i to jest dokładnie to, co zawiera nasza całka!
\ Displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Staje się następująca z u = x ^ 2 i du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Teraz możemy po prostu normalnie zintegrować!Następnie musimy podstawić u z powrotem, jeśli są jakieś ograniczenia integracji do podłączenia.
Oto kolejny, bardziej zaawansowany przykład. Znajdź
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Biorąc pod uwagę, że \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, całka staje się
\ Displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Możemy ustawić u = \ cos (x), ponieważ jego pochodna jest po prostu sinusoidalna (pomnożona przez stałą, -1), co pozwala nam tam dostać nasz du. Oznacza to, że du = – \ sin (x) dx, więc
\ Displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Teraz można to normalnie zintegrować, a ostateczna odpowiedź brzmi – \ ln | \ cos (x ) | + C.