Cel mai bun răspuns
Da! Există „o metodă care este exact inversul regulii lanțului, eu o numesc„ metoda absorbției ”.
Cunoștințe anterioare:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f „\ left (x \ right) \, dx
Iată trucul:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) \ right) g „\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ left (g \ left (x \ right ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Putem verifica întotdeauna răspunsul făcând deci:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f „\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g „\ left (x \ right)
Această tehnică este foarte puternică la rezolvarea integralelor.
Primul exemplu: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Îl putem evalua astfel:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Aici, 2x este „absorbit” de dx, apoi dx devine d \ left (x ^ 2 \ right).
Putem „absorbi” în continuare e ^ {x ^ 2} în d \ left (x ^ 2 \ right) și întreaga ecuație devine: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ dreapta)}
Scoateți \ int, d și parantezele și adăugați în cele din urmă un C în spate, apoi se afișează răspunsul!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Al doilea exemplu: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Știm că \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, deci întreaga integrală devine \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Acum putem „absorbi” \ sin x astfel încât dx să devină d \ left (- \ cos x \ right).
Apoi întreaga ecuație devine \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Luați semnul negativ (-) în fața \ int și devine \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
În continuare „absorbim” \ frac 1 {\ cos x} în d \ left (\ cos x \ right) astfel încât
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Prin urmare, răspunsul final este – \ ln | \ cos x | + C, sau \ ln | \ sec x | + C. Este același principiu pentru \ cot x.
Al treilea exemplu: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Înmulțim \ sec x cu \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} astfel încât \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Acum putem „absorbi” \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x astfel încât dx să devină d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Apoi întreaga ecuație devine \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
În continuare „absorbim” \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} în d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) astfel încât
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Prin urmare, răspunsul final este \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Este același principiu pentru \ csc x.
Ultimul exemplu: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Deoarece 5 este o constantă, noi îl poate „crea” din aer.
Prin urmare,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Apoi, integrează funcția ca de obicei.
Răspunsul final: \ ln | x + 5 | + C .
Această metodă este mult mai simplă și mai ușor de înțeles.
Răspuns
La fel ca cum există „o regulă de lanț pentru diferențiere,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g „(x) f” (g (x))
Există o „regulă de lanț invers” pentru Integrare.
Cu alte cuvinte, dacă doriți să integrați o funcție a formei
\ displaystyle \ int {g „(x) f” (g (x)) dx}
Soluția sa ar fi f (g (x)), conform regulii lanțului pentru diferențiere.
Aceasta înseamnă că puteți generaliza această tehnică pentru a calcula integrale acolo unde există o anumită funcție în interiorul unei alte funcții, cum ar fi într-un exponent, în interiorul unei funcții trig, etc. Această tehnică este calle d u-substitution.
Iată un exemplu. Să presupunem că doriți să găsiți următoarea integrală:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Rețineți că în afara exponențialului, aveți derivata a ceea ce ” s în interiorul exponentului, și anume 2x și x ^ 2.
Din acest motiv, vom seta u = x ^ 2. Acum cumva derivata lui u vine aici și vrem o modalitate de a converti integrala noastră într-o integrală în ceea ce privește u față de u, așa că avem nevoie de un du undeva. Iată cum o vom obține:
Rețineți că
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, deci
\ displaystyle du = 2xdx
Astfel, pentru a se integra în ceea ce privește u și a avea un du în integrandul nostru, avem nevoie doar de 2x ori dx și „exact ceea ce conține integrandul nostru!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Devine următorul cu u = x ^ 2 și du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Acum ne putem integra normal!Ulterior, trebuie să îl înlocuim înapoi dacă există limite de integrare pentru conectare.
Iată un alt exemplu mai avansat. Găsiți
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Având în vedere că \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, integralul devine
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Putem seta u = \ cos (x) deoarece derivata sa este doar sinusoidală (înmulțită cu o constantă, -1), care ne permite să introducem du-ul nostru acolo. Asta înseamnă că du = – \ sin (x) dx, deci
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Acest lucru poate fi acum integrat în mod normal, răspunsul final fiind – \ ln | \ cos (x ) | + C.