ベストアンサー
はい！連鎖律の逆である「方法」があり、私はそれを「吸収の方法」と呼んでいます。
事前知識：
d \ left（f \ left（x \ right）\ right）= f “\ left（x \ right）\、dx
ここにトリックがあります：
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left （g \ left（x \ right）\ right）g “\ left（x \ right）\、dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ left（g \ left（x \ right ）\ right）\、d \ left（g \ left（x \ right）\ right）}
= \ displaystyle \ int {d \ left（f \ left（g \ left（x \ right ）\ right）\ right）}
= \ displaystyle f \ left（g \ left（x \ right）\ right）+ C
次のようにすると、いつでも答えを確認できます。つまり：
\ displaystyle \ frac {d \ left（f \ left（g \ left（x \ right）\ right）\ right）} {dx} = f “\ left（g \ left（ x \ right）\ right）g “\ left（x \ right）
この手法は、積分を解くときに非常に強力です。
最初の例：\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \、dx}
次のように評価できます：
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \、dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left（2x \、dx \ right）}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ 、d \ left（x ^ 2 \ right）}
ここで、2xはdxによって「吸収」され、dxはd \ left（x ^ 2 \ right）になります。
e ^ {x ^ 2}をd \ left（x ^ 2 \ right）にさらに「吸収」すると、方程式全体は次のようになります。\ displaystyle \ int {d \ left（e ^ {x ^ 2} \右）}
\ int、d、およびブラケットを削除し、最後に後ろにCを追加すると、答えが表示されます！
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C。
2番目の例：\ displaystyle \ int {\ tan x \、dx}
\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}であることがわかっているため、積分全体は\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \、dxになります。 }。
\ sin xを「吸収」して、dxがd \ left（-\ cos x \ right）になるようにします。
次に、方程式全体が\ displaystyle \になります。 int {\ frac {d \ left（-\ cos x \ right）} {\ cosx}}。
\ intの前に負の記号（-）を付けると、\ displaystyleになります。 -\ int {\ frac {d \ left（\ cos x \ right）} {\ cosx}}。
さらに、\ frac 1 {\ cosx}をd \ leftに「吸収」します。 （\ cos x \ right）
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left（\ cos x \ right）} {\ cos x}} =-\ int {d \ left （\ ln | \ cos x | \ right）}。
したがって、最終的な答えは-\ ln | \ cos x | + C、または\ ln | \ sec x | + Cです。 \ cotxの場合も同じ原理です。
3番目の例：\ displaystyle \ int {\ sec x \、dx}
\ secxに\ frac {\ secを掛けますx + \ tan x} {\ tan x + \ sec x}（\ displaystyle \ int {\ sec x \、dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan） x + \ sec x} \、dx}。
これで、\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan xを「吸収」して、dxがd \ left（\ tan x + \ sec x \ right）になるようにすることができます。 。
次に、方程式全体が\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left（\ tan x + \ sec x \ right）} {\ tan x + \ secx}}になります。
さらに\ frac 1 {\ tan x + \ secx}をd \ left（\ tan x + \ sec x \ right）に「吸収」して、
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left（\ tan x + \ sec x \ right）} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left（\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right）}。
したがって、最終的な答えは\ ln | \ tan x + \ sec x | + Cです。 \ cscxについても同じ原理です。
最後の例：\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
5は定数なので、薄い空気からそれを「作成」することができます。
したがって、
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left（x + 5 \ right）} {x +5}。
次に、通常どおり関数を統合します。
最終的な答え：\ ln | x + 5 | + C 。
この方法ははるかに単純で理解しやすいです。
答え
「差別化のための連鎖律」と同じように
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f（g（x））= g “（x）f”（g（x））
の「逆連鎖律」があります統合。
つまり、次の形式の関数を統合する場合
\ displaystyle \ int {g “（x）f”（g（x））dx}
その解は、微分の連鎖律に従ってf（g（x））になります。
これは、この手法を一般化して、関数がある場合に積分を計算できることを意味します。指数内、トリガー関数内など、別の関数内。この手法はcalleです。 du-substitution。
ここに例があります。次の積分を見つけたいとします。
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
指数の外側には、何の導関数があることに注意してください。 ” sは指数内、つまり2xとx ^ 2です。
このため、u = x ^ 2と設定します。ここで、どういうわけかuの導関数がここにあり、変換する方法が必要です。 uに関するuの積分への積分なので、どこかにduが必要です。これを取得する方法は次のとおりです。
注意
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x、つまり
\ displaystyle du = 2xdx
したがって、uに関して積分し、被積分関数にduを含めるには、必要なのはdxの2倍だけで、それがまさに被積分関数に含まれているものです！
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2}（2xdx）}
次のようになりますu = x ^ 2およびdu = 2xdxの場合：
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
これで、通常どおりに統合できます。その後、プラグインするための統合の制限がある場合は、uを元に戻す必要があります。
もう1つのより高度な例です。検索
\ displaystyle \ int {\ tan（x）dx}
\ tan（x）= \ dfrac {\ sin（x）} {\ cos（x）}を考慮すると、積分は次のようになります
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin（x）} {\ cos（x）} dx}
その導関数は正弦（定数を掛けたもの）であるため、u = \ cos（x）を設定できます。 -1）、これにより、duをそこに入れることができます。つまり、du =-\ sin（x）dxなので、
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin（x）} { \ cos（x）} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
これで通常どおりに統合でき、最終的な答えは-\ ln | \ cos（x ）| + C。