우리는 차별화에 사슬 규칙이 있습니다. 통합에 유사한 규칙이 있습니까?


최상의 답변

예! 체인 규칙과 정확히 반대되는 방법이 있습니다. 저는 이것을 “흡수 방법”이라고 부릅니다.

사전 지식 :

d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f “\ left (x \ right) \, dx

여기에 트릭이 있습니다.

\ displaystyle \ quad \ int {f”\ left (g \ left (x \ right) \ right) g “\ left (x \ right) \, dx}

= \ displaystyle \ int {f”\ left (g \ left (x \ right ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}

= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right ) \ right) \ right)}

= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C

언제든지 다음을 수행하여 답을 확인할 수 있습니다. 그래서 :

\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f “\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g “\ left (x \ right)

이 기술은 적분을 풀 때 매우 강력합니다.

첫 번째 예 : \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}

다음과 같이 평가할 수 있습니다.

\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}

= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}

= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}

여기서 2x는 dx에 “흡수”되고 dx는 d \ left (x ^ 2 \ right)가됩니다.

e ^ {x ^ 2}를 d \ left (x ^ 2 \ right)로 더 “흡수”할 수 있으며 전체 방정식은 다음과 같습니다. \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ right)}

\ int, d 및 대괄호를 제거하고 마지막으로 뒤에 C를 추가하면 답이 표시됩니다!

ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.

두 번째 예 : \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}

우리는 \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}를 알고 있으므로 전체 적분은 \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx가됩니다. }.

이제 \ sin x를 “흡수”하여 dx가 d \ left (-\ cos x \ right)가됩니다.

그러면 전체 방정식이 \ displaystyle \이됩니다. int {\ frac {d \ left (-\ cos x \ right)} {\ cos x}}.

\ int 앞에 음수 부호 (-)를 입력하면 \ displaystyle이됩니다. -\ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.

\ frac 1 {\ cos x}를 d \ left로 “흡수”합니다. (\ cos x \ right)

\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} =-\ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.

따라서 최종 답은-\ ln | \ cos x | + C 또는 \ ln | \ sec x | + C입니다. \ cot x에 대해서도 같은 원리입니다.

세 번째 예 : \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}

\ sec x와 \ frac {\ sec를 곱합니다. x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} : \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.

이제 \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x를 “흡수”하여 dx가 d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).

그러면 전체 방정식이 \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}가됩니다.

우리는 \ frac 1 {\ tan x + \ sec x}를 d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)로 “흡수”하여

\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.

따라서 최종 답은 \ ln | \ tan x + \ sec x | + C입니다. \ csc x에 대해서도 동일한 원칙입니다.

마지막 예 : \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}

5는 상수이므로 허공에서 “생성”할 수 있습니다.

따라서

\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.

그런 다음 평소처럼 함수를 통합합니다.

최종 답 : \ ln | x + 5 | + C .

이 방법은 훨씬 간단하고 이해하기 쉽습니다.

답변

분화를위한 체인 규칙이있는 것처럼

\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f”(g (x))

다음에 대한 “역사 슬 규칙”이 있습니다. 통합.

즉, 다음 형식의 함수를 통합하려는 경우

\ displaystyle \ int {g “(x) f”(g (x)) dx}

미분을위한 연쇄 규칙에 따라 솔루션은 f (g (x))가됩니다.

이는이 기술을 일반화하여 일부 함수가있는 적분을 계산할 수 있음을 의미합니다. 지수, 삼각 함수 등의 다른 함수 내부.이 기술은 calle입니다. d u-substitution.

다음은 예입니다. 다음 적분을 구한다고 가정합니다.

\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}

지수 밖에서는 무엇의 미분을가집니다. ” s 내부 지수, 즉 2x 및 x ^ 2.

이 때문에 u = x ^ 2로 설정합니다. 이제 어떻게 든 u의 미분이 여기에 들어 와서 변환 할 방법을 원합니다. u에 대한 u의 적분으로의 적분이므로 어딘가에 du가 필요합니다. 다음은이를 얻는 방법입니다.

주의

\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, 그래서

\ displaystyle du = 2xdx

따라서 u에 대해 적분하고 우리의 적분에 du를 갖기 위해, 우리는 단지 2x x dx가 필요합니다. 이것이 바로 우리의 적분에 포함 된 것입니다!

\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}

다음과 같이됩니다. u = x ^ 2 및 du = 2xdx :

\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}

이제 정상적으로 통합 할 수 있습니다!그 후 플러그인 통합에 한계가있는 경우 u로 다시 대체해야합니다.

여기에 또 다른 고급 예제가 있습니다. 찾기

\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}

\ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}를 고려하면 적분은

\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}

미분은 사인 (상수로 곱 해짐)이므로 u = \ cos (x)를 설정할 수 있습니다. -1), 이것은 우리가 거기에 우리의 du를 넣을 수있게합니다. 즉, du =-\ sin (x) dx, 그래서

\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}

이제 정상적으로 통합 될 수 있으며 최종 답은-\ ln | \ cos (x ) | + C.

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