Meilleure réponse
Supposons que nous ayons un ensemble de N valeurs numériques \ {x\_i \}. Leur moyenne est définie comme \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Nous pouvons réécrire le côté gauche comme
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Soustrayez la LHS des deux côtés, de sorte que 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Nous pouvons multiplier les deux côtés par N pour obtenir 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x, et cest une belle propriété des sommes finies (et de certaines sommes infinies) que leurs termes peuvent être réarrangés arbitrairement sans changer la valeur de la somme. En particulier, puisque les deux sommes apparaissant dans cette dernière équation ont le même nombre de termes, nous pouvons appairer le i-ème terme de chaque somme et combiner la différence des sommes en une seule somme de différences: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Ce résultat vaut aussi pour les moyennes sur des distributions continues, où une telle moyenne est définie.
Cela signifie que la moyenne \ bar x est précisément le nombre autour duquel les «poids» des données \ {x\_i \} sont équilibrés – par construction. Si nous allions dans lautre sens, supposons quil y ait un certain nombre x ^ * tel que \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (cest-à-dire supposons que ce nombre existe qui a cette propriété et voir si cest cohérent ou bien défini), la résolution de x ^ * donnerait la formule originale que nous avons utilisée comme définition de \ bar x.
Réponse
Dautres lont souligné en termes dexpressions mathématiques et ma tentative est plutôt de laborder intuitivement. Pendant que vous prenez la moyenne, vous divisez la somme des observations par le nombre dobservations, disons n. La propriété de diviser quelque chose est de faire des parties égales dans notre cas n. Maintenant, tenez ce chapeau de pensée mathématique et prenons un exemple savoureux – Dans une communauté, les gens planifiaient une réunion et tout le monde était censé obtenir des gâteaux chez eux. Mais on ne leur a pas dit combien apporter. Les gens ont donc fait leurs propres hypothèses et sont venus avec une quantité différente de gâteaux D\_i. Tous les gâteaux ont été assemblés et ils ont commencé à les redistribuer également (disons \ bar {d}), indépendamment de ce quun individu apportait. Ainsi, ceux qui ont apporté plus ont obtenu un peu moins en retour, tandis que ceux qui ont apporté moins ont gagné un peu plus en retour. Maintenant une chose est certaine que, au total la quantité de gâteau qui a été gagnée est la même que celle de la quantité de gâteau qui a été «perdue» ou bien nous avons plus gros problème de loi de conservation des gâteaux (masse) :-). La quantité de gâteau supplémentaire reçue par une seule personne est la différence entre D\_i – \ bar {d}. Cette quantité est de -ve et tous les gagnants de gâteau contribueront à une plus grande somme de -ve. De même, dun autre côté, pour ceux qui ont apporté plus de gâteaux quils nont reçu D\_i – \ bar {d} est une valeur + ve se résumant à tout le gâteau supplémentaire qui a été distribué aux gagnants de gâteaux. Le total de ces deux plus grosses sommes doit être égal à 0.
Cest ce que nous voulons comprendre.