Migliore risposta
Sì! Esiste “un metodo che è esattamente lopposto della regola della catena, io lo chiamo” metodo di assorbimento “.
Conoscenza precedente:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f “\ left (x \ right) \, dx
Ecco il trucco:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ sinistra (x \ destra) \ destra) g “\ sinistra (x \ destra) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ sinistra (g \ sinistra (x \ destra ) \ destra) \, d \ sinistra (g \ sinistra (x \ destra) \ destra)}
= \ displaystyle \ int {d \ sinistra (f \ sinistra (g \ sinistra (x \ destra ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Possiamo sempre controllare la risposta facendo quindi:
\ displaystyle \ frac {d \ sinistra (f \ sinistra (g \ sinistra (x \ destra) \ destra) \ destra)} {dx} = f “\ sinistra (g \ sinistra ( x \ right) \ right) g “\ left (x \ right)
Questa tecnica è molto potente per la risoluzione degli integrali.
Il primo esempio: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Possiamo valutarlo in questo modo:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Qui, 2x viene “assorbito” da dx, quindi dx diventa d \ left (x ^ 2 \ right).
Possiamo “assorbire” ulteriormente le ^ {x ^ 2} in d \ left (x ^ 2 \ right) e lintera equazione diventa: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ right)}
Togli \ int, d e parentesi e infine aggiungi una C sul retro, quindi viene mostrata la risposta!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Il secondo esempio: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Sappiamo che \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, quindi lintero integrale diventa \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Ora possiamo “assorbire” il \ sin x in modo che dx diventi d \ left (- \ cos x \ right).
Quindi lintera equazione diventa \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Prendi il segno negativo (-) davanti a \ int e diventa \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
“Assorbiamo” ulteriormente \ frac 1 {\ cos x} in d \ left (\ cos x \ right) tale che
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Pertanto, la risposta finale è – \ ln | \ cos x | + C, o \ ln | \ sec x | + C. È lo stesso principio per \ cot x.
Il terzo esempio: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Moltiplichiamo \ sec x per \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} tale che \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Ora possiamo “assorbire” il \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x in modo che dx diventi d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Quindi lintera equazione diventa \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
“assorbiamo” ulteriormente \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} in d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) in modo tale che
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Pertanto, la risposta finale è \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. È lo stesso principio per \ csc x.
Lultimo esempio: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Poiché 5 è una costante, noi può “crearlo” dal nulla.
Pertanto,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Quindi, integra la funzione come al solito.
La risposta finale: \ ln | x + 5 | + C .
Questo metodo è molto più semplice e facile da capire.
Risposta
Proprio come esiste una regola della catena per la differenziazione,
\ Displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f” (g (x))
Esiste una “regola della catena inversa” per integrazione.
In altre parole, se si desidera integrare una funzione della forma
\ displaystyle \ int {g “(x) f” (g (x)) dx}
La sua soluzione sarebbe f (g (x)), secondo la regola della catena per la differenziazione.
Ciò significa che puoi generalizzare questa tecnica per calcolare integrali dove cè qualche funzione allinterno di unaltra funzione, come in un esponente, allinterno di una funzione trigonometrica, ecc. Questa tecnica è chiamata sostituzione d u.
Ecco un esempio. Supponi di voler trovare il seguente integrale:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Nota che al di fuori dellesponenziale, hai la derivata di cosa ” s allinterno dellesponente, vale a dire 2x e x ^ 2.
Per questo motivo, imposteremo u = x ^ 2. Ora in qualche modo la derivata di u entra qui e vogliamo un modo per convertire il nostro integrale in un integrale in termini di u rispetto a u, quindi abbiamo bisogno di un du da qualche parte. Ecco come lo otterremo:
Nota che
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, quindi
\ displaystyle du = 2xdx
Quindi, per integrarsi rispetto a ue avere un du nel nostro integrando, abbiamo solo bisogno di 2x volte dx, ed è esattamente ciò che contiene il nostro integrando!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Diventa il seguente con u = x ^ 2 e du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Ora possiamo semplicemente integrarci normalmente!Successivamente, dobbiamo sostituire di nuovo u se ci sono limiti di integrazione da collegare.
Ecco un altro esempio più avanzato. Trova
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Considerando che \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, lintegrale diventa
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Possiamo impostare u = \ cos (x) poiché la sua derivata è solo seno (moltiplicato per una costante, -1), che ci permette di inserire il nostro du. Ciò significa che du = – \ sin (x) dx, quindi
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Questo può ora essere integrato normalmente, con la risposta finale – \ ln | \ cos (x ) | + C.