Najlepsza odpowiedź
Załóżmy, że mamy zbiór N wartości liczbowych \ {x\_i \}. Ich średnia jest zdefiniowana jako \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Możemy przepisać lewą stronę jako
\ Displaystyle {\ qquad \ rozpocząć {wyrównanie *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {razy}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Odejmij LHS z obu stron, tak aby 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Możemy pomnożyć obie strony przez N, aby otrzymać 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ takt x i fajną własnością sum skończonych (i pewnych sum nieskończonych) jest to, że ich wyrazy można dowolnie przestawiać bez zmiany wartości sumy. W szczególności, ponieważ dwie sumy pojawiające się w tym ostatnim równaniu mają taką samą liczbę składników, możemy połączyć i-ty człon każdej sumy w parę i połączyć różnicę w jedną sumę różnic: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Ten wynik dotyczy również średnich nad rozkładami ciągłymi, gdzie taka średnia jest zdefiniowana.
Oznacza to, że średnia \ bar x jest dokładnie liczbą, o której „wagi” danych \ {x\_i \} są równoważone – przez budowa. Gdybyśmy poszli w drugą stronę i przypuśćmy, że istnieje liczba x ^ * taka, że \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (tj. Załóżmy, że istnieje ta liczba, która ma tę własność i sprawdź, czy jest to spójne lub dobrze zdefiniowane), rozwiązanie dla x ^ * dałoby oryginalną formułę, której użyliśmy jako definicji \ bar x.
Odpowiedź
Inni wskazali na to w kategoriach wyrażeń matematycznych i próbuję podejść do tego raczej intuicyjnie. Przyjmując średnią, dzielisz sumę obserwacji przez liczbę obserwacji, powiedzmy n. Właściwość dzielenia czegoś polega na tym, że w naszym przypadku części są równe. A teraz trzymaj ten kapelusz myślący matematycznie i weźmy smaczny przykład – w społeczności ludzie planowali spotkanie i wszyscy mieli wziąć ciasta ze swoich domów. Nie powiedziano im jednak, ile mają przywieźć. Więc ludzie zrobili własne założenia i przyszli z różną ilością ciast D\_i. Wszystkie ciastka zostały poskładane i zaczęli rozdzielać je z powrotem po równo (powiedzmy \ bar {d}), niezależnie od tego, co przyniosła osoba. Zatem ci, którzy przynieśli więcej, otrzymywali w zamian trochę mniej, a ci, którzy przynieśli mniej, zyskali trochę więcej w zamian. Teraz jedno jest pewne, że sumaryczna ilość uzyskanego ciasta jest taka sama, jak ilości ciasta, które zostało „zgubione”, bo inaczej mamy większy problem z prawem zachowania ciast (masy) :-). Ilość dodatkowego ciasta otrzymanego przez jedną osobę jest różnicą między D\_i – \ bar {d}. Ta ilość jest -ve i wszystkie gainery będą przyczyniać się do większej -ve sumy. Podobnie, z drugiej strony, dla tych, którzy przynieśli więcej ciastek, niż otrzymali D\_i – \ bar {d} jest wartością + ve sumującą wszystkie dodatkowe ciastka, które zostały rozdane osobom zdobywającym ciasto. Suma tych dwóch większych sum musi wynosić 0.
To właśnie chcemy zrozumieć.