Melhor resposta
Sim! Existe um método que é exatamente o oposto da regra da cadeia, eu o chamo de “método de absorção”.
Conhecimento prévio:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f “\ left (x \ right) \, dx
Aqui está o truque:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) \ right) g “\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Podemos sempre verificar a resposta fazendo então:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f “\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g “\ left (x \ right)
Esta técnica é muito poderosa ao resolver integrais.
O primeiro exemplo: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Podemos avaliá-lo assim:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Aqui, o 2x está sendo “absorvido” por dx, então dx se torna d \ left (x ^ 2 \ right).
Podemos ainda “absorver” o e ^ {x ^ 2} em d \ left (x ^ 2 \ right) e toda a equação se torna: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ direita)}
Retire o \ int, ad e os colchetes e, finalmente, adicione um C na parte de trás, então a resposta é mostrada!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
O segundo exemplo: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Sabemos que \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, então a integral inteira se torna \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Agora podemos “absorver” o \ sin x para que dx se torne d \ left (- \ cos x \ right).
Então, toda a equação se torna \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Pegue o sinal negativo (-) na frente do \ int, e ele se torna \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Nós ainda “absorvemos” o \ frac 1 {\ cos x} em d \ left (\ cos x \ right) de modo que
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Portanto, a resposta final é – \ ln | \ cos x | + C, ou \ ln | \ sec x | + C. É o mesmo princípio para \ cot x.
O terceiro exemplo: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Multiplicamos \ sec x por \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} de forma que \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Agora podemos “absorver” o \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x para que dx se torne d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Então, toda a equação torna-se \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Nós ainda “absorvemos” o \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} em d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) de modo que
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Portanto, a resposta final é \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. É o mesmo princípio para \ csc x.
O último exemplo: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Como 5 é uma constante, nós pode “criá-lo” do nada.
Portanto,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Em seguida, integre a função como de costume.
A resposta final: \ ln | x + 5 | + C .
Este método é muito mais simples e fácil de ser entendido.
Resposta
Assim como existe uma regra em cadeia para diferenciação,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f” (g (x))
Existe uma “regra de cadeia inversa” para integração.
Em outras palavras, se você quiser integrar uma função do formulário
\ displaystyle \ int {g “(x) f” (g (x)) dx}
Sua solução seria f (g (x)), de acordo com a regra da cadeia para diferenciação.
Isso significa que você pode generalizar esta técnica para calcular integrais onde há alguma função dentro de outra função, como em um expoente, dentro de uma função trigonométrica, etc. Essa técnica é chamada substituição d u.
Aqui está um exemplo. Suponha que você queira encontrar a seguinte integral:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Observe que fora da exponencial, você tem a derivada de que ” s dentro do expoente, a saber 2x e x ^ 2.
Por causa disso, definiremos u = x ^ 2. Agora, de alguma forma, a derivada de u entra aqui e queremos uma maneira de converter nossa integral em uma integral em termos de u em relação a u, então precisamos de um du em algum lugar. Veja como o conseguiremos:
Observe que
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, então
\ displaystyle du = 2xdx
Assim, a fim de integrar com relação a u e ter um du em nosso integrando, precisamos apenas de 2x vezes dx, e isso é exatamente o que nosso integrando contém!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Torna-se o seguinte com u = x ^ 2 e du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Agora podemos apenas integrar normalmente!Depois, precisamos substituir u de volta se houver algum limite de integração para o plug-in.
Aqui está outro exemplo mais avançado. Encontre
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Considerando que \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, a integral torna-se
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Podemos definir u = \ cos (x) já que sua derivada é apenas seno (multiplicada por uma constante, -1), o que nos permite colocar nosso du lá. Isso significa que du = – \ sin (x) dx, então
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Isso agora pode ser integrado normalmente, com a resposta final sendo – \ ln | \ cos (x ) | + C.