Bästa svaret
Vad är 1 dividerat med oändlighet?
Som alltid med ”oändlighet” bör du tillämpa Bustany ”s Rule of Infinity :
Oändlighet och intuition gör inte mix
Så chuck ut din intuition och fråga:
Vilken oändlighet?
Det finns ett antal väldefinierade oändligheter inklusive de i:
- Real Projective Line där \ frac1 {\ infty} = 0;
- Utökad verklig linje där \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- De ordinära siffrorna där vänster uppdelning är sorterad av definierad men rätt uppdelning fungerar inte så \ frac1 {\ omega} är odefinierad, och
- Surrealistiska tal där det finns en oändlig multiplikativ invers för varje transfinit surrealistisk, så \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, men notera att \ epsilon för alla 0 \ i \ mathbb R.
Det finns därför inget specifikt svar på ”vad är en dividerat med oändlighet” förrän du anger vilken oändlighet du menar.
Förresten, påståendet från andra att ” oändlighet är inte ett nummer ”är helt enkelt felaktigt. Det finns inga transfinita nummer i de traditionella siffrorna som \ mathbb {N, Z, Q, R, C} men transfinita siffror är vanliga i klasser av siffror som Ordinals, Cardinals eller Surreals. Ganska överraskande, kanske finns det ingen enda definition av ”antal” i matematik.
Svar
Innan jag fortsätter med att svara på frågan vill jag säga att de flesta böckerna på gränser sätt de obestämda formerna på ett ” fel ” (åtminstone de grundläggande böckerna om gränser). Jag säger det eftersom det finns något gömt i dessa former.
De sju obestämda formerna som du förmodligen har läst om är: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Den dolda saken : När du skriver \ frac {0} {0} betyder det faktiskt \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, där \ rightarrow 0 betyder tenderar eller närmar sig noll . Jag vill också påpeka att \ rightarrow \ infty och \ infty är ekvivalenta (men \ rightarrow 0 och 0 är inte ekvivalenta notationsmässigt).
Vad allt detta betyder är att om du måste utvärdera \ frac {f (x)} {g (x)}, där f (x) = g (x) = 0, då skulle ditt svar helt enkelt vara ” division är inte definierad ”(detta skiljer sig från att vara obestämt). Men om du måste utvärdera \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, där \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, då skulle det vara en obestämd form, i vilket fall du fortsätter att utvärdera gränserna. Jag vill tillägga att det att vara obestämt skiljer sig från gränserna. En annan sak är att när gränsen är \ infty betyder det också att gränsen inte finns. Ett vanligt fel som jag hittade vilka lärare (från vilken jag gick i skolan) gör är att de accepterar båda: \ infty och obestämt, som svar på en fråga som \ frac {5} {0} (även när sammanhanget inte är begränsat). Rätt svar (och det enda svaret) är ” delning med noll definieras inte ”.
Så svaret på din fråga beror på hur du uppfattar notationen. Frågan här handlar inte om vilken som är korrekt (för det måste du antagligen studera historien om utvecklingen av gränser, och du kanske fortfarande inte hittar ett svar eller så kan du upptäcka att båda uppfattningarna finns i olika ”samhällen”) Med min uppfattning skulle jag säga att formuläret i OP inte är obestämt och utvärderas till 1 (Jag läste notationen som \ left (\ text {exakt}) 1 \ höger) ^ \ infty i motsats till \ left (\ rightarrow 1 \ höger) ^ \ infty). Jag betonar vikten av att förstå denna subtilitet eftersom många av oss faktiskt kommer att fortsätta (jag slår vad om) att utvärdera (enligt någon standard / konventionell metod) frågorna av typen: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (endast höger gräns) när svaret ska vara tydligt vid synen ( de ”okända” fästena står för golvfunktionen).