Bästa svaret
Antag att vi har en uppsättning N-numeriska värden \ {x\_i \}. Deras medelvärde definieras som \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Vi kan skriva om vänster sida som
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Subtrahera LHS från båda sidor, så att 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Vi kan multiplicera båda sidor med N för att få 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ stapel x, och det är en trevlig egenskap hos begränsade summor (och vissa oändliga summor) att deras villkor kan ordnas om godtyckligt utan att summan ändras. I synnerhet, eftersom de två summorna som visas i den här sista ekvationen har samma antal termer, kan vi para ihop den första termen för varje summa och kombinera skillnaden i summor till en enda skillnadssumma: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Detta resultat gäller även för medel över kontinuerliga fördelningar, där ett sådant medelvärde definieras.
Vad detta betyder är att medelvärdet \ bar x är exakt det antal som ”vikterna” för datan \ {x\_i \} balanseras av – med konstruktion. Skulle vi gå åt andra håll och anta att det finns något nummer x ^ * så att \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (dvs antar att det här numret finns som har den här egenskapen och se om detta är konsekvent eller väldefinierat), lösning för x ^ * skulle ge den ursprungliga formeln som vi använde som definitionen av \ bar x.
Svar
Andra har påpekat det i termer av matematiska uttryck och mitt försök är att snarare närma mig det intuitivt. Medan du menar, delar du summan av observationer med antalet observationer, säg n. Egenskapen med att dela upp något är att göra lika delar i vårt fall n. Håll nu den här matematiska tänkhatten och låt oss ta ett gott exempel – I ett samhälle planerade människor att träffas och alla skulle få kakor från sina hus. De fick dock inte veta hur mycket de skulle ta med. Så människor gjorde sina egna antaganden och kom med olika mängd kakor D\_i. Alla kakor sattes ihop och de började omfördela den lika (säg \ bar {d}), oavsett vad någon person tog med sig. Så de som tog med sig fick lite mindre i gengäld, medan de som tog med mindre fick lite mer i gengäld. Nu är en sak säker på att den totala mängden tårta som erhölls är densamma som den för mängden tårta som ”förlorades”, annars har vi större problem med lag om bevarande av kakor (massa) :-). Mängden extra tårta som tas emot av en enda person är skillnaden mellan D\_i – \ bar {d}. Denna kvantitet är -ve och alla tårtvinnare kommer att bidra till en större -ve summa. På samma sätt, å andra sidan, för dem som tog med extra kakor än de fick D\_i – \ bar {d} är ett + -värde som sammanfattar alla extra kakor som distribuerades till kakvinare. Summan av dessa två större summor måste vara 0.
Detta är vad vi vill förstå.