Beste Antwort
Ja! Es gibt eine Methode, die genau die Umkehrung der Kettenregel ist, ich nenne sie die „Absorptionsmethode“.
Vorkenntnisse:
d \ left (f \ left (x) \ right) \ right) = f „\ left (x \ right) \, dx
Hier ist der Trick:
\ displaystyle \ quad \ int {f“ \ left (g \ left (x \ right) \ right) g „\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f“ \ left (g \ left (x \ right) ) \ rechts) \, d \ links (g \ links (x \ rechts) \ rechts)}
= \ displaystyle \ int {d \ links (f \ links (g \ links (x \ rechts)) ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Wir können die Antwort jederzeit überprüfen, indem wir dies tun also:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f „\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g „\ left (x \ right)
Diese Technik ist sehr sehr leistungsfähig beim Lösen von Integralen.
Das erste Beispiel: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Wir können es folgendermaßen bewerten:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Hier wird das 2x von dx „absorbiert“, dann wird dx zu d \ left (x ^ 2 \ right).
Wir können das e ^ {x ^ 2} weiter in d \ left (x ^ 2 \ right) „absorbieren“ und die ganze Gleichung lautet: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \) rechts)}
Nehmen Sie das \ int, das d und die Klammern weg und fügen Sie schließlich ein C hinten hinzu, dann wird die Antwort angezeigt!
dh \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Das zweite Beispiel: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Wir wissen, dass \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, also wird das gesamte Integral \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Wir können jetzt \ sin x „absorbieren“, so dass dx zu d \ left wird (- \ cos x \ right).
Dann wird die gesamte Gleichung zu \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Nehmen Sie das negative Vorzeichen (-) vor das \ int und es wird \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Wir „absorbieren“ das \ frac 1 {\ cos x} weiter in d \ left (\ cos x \ right) so, dass
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Daher lautet die endgültige Antwort – \ ln | \ cos x | + C oder \ ln | \ sec x | + C. Es ist das gleiche Prinzip für \ cot x.
Das dritte Beispiel: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Wir multiplizieren \ sec x mit \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x}, so dass \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Wir können jetzt die \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x „absorbieren“, so dass dx zu d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) wird ).
Dann wird die gesamte Gleichung zu \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Wir „absorbieren“ das \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} weiter in d \ left (\ tan x + \ sec x \ right), so dass
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Daher lautet die endgültige Antwort \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Es ist das gleiche Prinzip für \ csc x.
Das letzte Beispiel: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Da 5 eine Konstante ist, sind wir kann es aus der Luft „erstellen“.
Daher
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Integrieren Sie dann die Funktion wie gewohnt.
Die endgültige Antwort: \ ln | x + 5 | + C. .
Diese Methode ist viel einfacher und verständlicher.
Antwort
Genau wie es eine Kettenregel zur Differenzierung gibt,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g „(x) f“ (g (x))
Es gibt eine „inverse Kettenregel“ für Integration.
Mit anderen Worten, wenn Sie eine Funktion der Form
\ displaystyle \ int {g „(x) f“ (g (x)) dx} integrieren möchten.
Die Lösung wäre f (g (x)) gemäß der Kettenregel zur Differenzierung.
Dies bedeutet, dass Sie diese Technik verallgemeinern können, um Integrale zu berechnen, bei denen eine Funktion vorhanden ist innerhalb einer anderen Funktion, wie in einem Exponenten, innerhalb einer Triggerfunktion usw. Diese Technik ist calle d u-Substitution.
Hier ist ein Beispiel. Angenommen, Sie möchten das folgende Integral finden:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Beachten Sie, dass Sie außerhalb des Exponentials die Ableitung dessen haben, was “ s innerhalb des Exponenten, nämlich 2x und x ^ 2.
Aus diesem Grund setzen wir u = x ^ 2. Jetzt kommt irgendwie die Ableitung von u hierher und wir wollen einen Weg zur Konvertierung unser Integral in ein Integral in Bezug auf u in Bezug auf u, also brauchen wir irgendwo ein du drin. So bekommen wir es:
Beachten Sie, dass
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, also
\ displaystyle du = 2xdx
Um also in Bezug auf u zu integrieren und ein du in unserem Integranden zu haben, Wir brauchen nur 2x mal dx, und genau das enthält unser Integrand!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Wird wie folgt mit u = x ^ 2 und du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Jetzt können wir uns einfach normal integrieren!Danach müssen wir u wieder einsetzen, wenn es Integrationsgrenzen für das Einstecken gibt.
Hier ist ein weiteres, fortgeschritteneres Beispiel. Suchen Sie
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Unter Berücksichtigung von \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} wird das Integral zu
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Wir können u = \ cos (x) setzen, da seine Ableitung nur Sinus ist (multipliziert mit einer Konstanten, -1), was es uns ermöglicht, unser du dort hinein zu bringen. Das bedeutet, dass du = – \ sin (x) dx, also
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Dies kann jetzt normal integriert werden, wobei die endgültige Antwort – \ ln | \ cos (x) lautet ) | + C.