Nejlepší odpověď
Ano! Existuje metoda, která přesně odpovídá pravidlu řetězového pravidla, nazývám ji „metodou absorpce“.
Předchozí znalosti:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f „\ left (x \ right) \, dx
Tady je trik:
\ displaystyle \ quad \ int {f“ \ left (g \ left (x \ right) \ right) g „\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f“ \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Odpověď můžeme vždy zkontrolovat provedením takže:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f „\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g „\ left (x \ right)
Tato technika je velmi při řešení integrálů velmi účinná.
První příklad: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Můžeme to vyhodnotit takto:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ vlevo (2x \, dx \ vpravo)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Tady je dvojice „pohlcena“ dx, pak se dx stává d \ left (x ^ 2 \ right).
Můžeme dále „absorbovat“ e ^ {x ^ 2} do d \ left (x ^ 2 \ right) a celá rovnice se stane: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ vpravo)}
Odstraňte \ int, d a závorky a nakonec přidejte C vzadu, pak se zobrazí odpověď!
tj \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Druhý příklad: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Víme, že \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, takže celý integrál se stává \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Nyní můžeme „absorbovat“ \ sin x, takže dx se stane d \ left (- \ cos x \ right).
Pak se celá rovnice stane \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Vezměte záporné znaménko (-) před \ int a stane se \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Dále „absorbujeme“ \ frac 1 {\ cos x} do d \ left (\ cos x \ right) takový, že
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Proto je konečná odpověď – \ ln | \ cos x | + C nebo \ ln | \ sec x | + C. Je to stejný princip pro \ cot x.
Třetí příklad: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Násobíme \ sec x s \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} takové, že \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Nyní můžeme „absorbovat“ \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x, takže dx se stane d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Pak se celá rovnice změní na \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Dále „absorbujeme“ \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} do d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) tak, že
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Proto je konečná odpověď \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Je to stejný princip pro \ csc x.
Poslední příklad: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Protože 5 je konstanta, může jej „vytvořit“ ze vzduchu.
Proto,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Potom integrujte funkci jako obvykle.
Konečná odpověď: \ ln | x + 5 | + C .
Tato metoda je mnohem jednodušší a srozumitelnější.
Odpověď
Stejně jako existuje pravidlo řetězení diferenciace,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g „(x) f“ (g (x))
Existuje „pravidlo inverzního řetězce“ pro integrace.
Jinými slovy, pokud byste chtěli integrovat funkci formuláře
\ displaystyle \ int {g „(x) f“ (g (x)) dx}
Jeho řešení by bylo f (g (x)), podle pravidla řetězení pro diferenciaci.
To znamená, že můžete tuto techniku zobecnit na výpočet integrálů, kde existuje nějaká funkce uvnitř jiné funkce, například v exponentu, uvnitř trigové funkce atd. Tato technika je calle d u-substituce.
Zde je příklad. Předpokládejme, že chcete najít následující integrál:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Všimněte si, že mimo exponenciální máte derivaci toho, co “ s uvnitř exponentu, jmenovitě 2x a x ^ 2.
Z tohoto důvodu nastavíme u = x ^ 2. Nyní sem nějak přichází derivace u a my chceme způsob převodu náš integrál do integrálu, pokud jde o u s ohledem na u, takže někde tam potřebujeme du. Takto to získáme:
Všimněte si, že
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, takže
\ displaystyle du = 2xdx
Abychom se tedy integrovali s ohledem na u a měli du v našem integrantu, prostě potřebujeme 2x krát dx, a to je přesně to, co obsahuje naše integrand!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Stává se následující s u = x ^ 2 a du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Nyní se můžeme jen normálně integrovat!Poté, co existují nějaká omezení integrace pro připojení, musíme nahradit u zpět.
Zde je další, pokročilejší příklad. Najít
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Vzhledem k tomu, že \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, integrál se stává
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Můžeme nastavit u = \ cos (x), protože jeho derivací je pouze sinus (vynásobený konstantou, -1), což nám umožňuje dostat se dovnitř. To znamená, že du = – \ sin (x) dx, takže
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Toto lze nyní integrovat normálně, přičemž konečná odpověď je – \ ln | \ cos (x ) | + C.