Bedste svar
Ja! Der er en metode, der er nøjagtig omvendt af kæderegel, jeg kalder det “absorptionsmetoden”.
Forudgående viden:
d \ left (f \ left (x \ højre) \ højre) = f “\ venstre (x \ højre) \, dx
Her er tricket:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ venstre (x \ højre) \ højre) g “\ venstre (x \ højre) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ venstre (g \ venstre (x \ højre) ) \ højre) \, d \ venstre (g \ venstre (x \ højre) \ højre)}
= \ displaystyle \ int {d \ venstre (f \ venstre (g \ venstre (x \ højre) ) \ højre) \ højre)}
= \ displaystyle f \ venstre (g \ venstre (x \ højre) \ højre) + C
Vi kan altid kontrollere svaret ved at gøre så:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f “\ left (g \ left ( x \ højre) \ højre) g “\ venstre (x \ højre)
Denne teknik er meget kraftfuld til løsning af integraler.
Det første eksempel: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Vi kan evaluere det sådan:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Her bliver 2x ”absorberet” af dx, så bliver dx d \ left (x ^ 2 \ right).
Vi kan yderligere “absorbere” e ^ {x ^ 2} i d \ left (x ^ 2 \ højre), og hele ligningen bliver: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ højre)}
Fjern \ int, d og parenteserne, og til sidst tilføj et C bagpå, så vises svaret!
dvs. \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Det andet eksempel: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Vi ved, at \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, så hele integralet bliver \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Vi kan nu “absorbere” \ sin x, så dx bliver d \ left (- \ cos x \ right).
Derefter bliver hele ligningen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Tag det negative tegn (-) foran \ int, og det bliver \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Vi “absorberer” yderligere \ frac 1 {\ cos x} i d \ left (\ cos x \ højre) sådan at
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Derfor er det endelige svar – \ ln | \ cos x | + C eller \ ln | \ sec x | + C. Det er det samme princip for \ cot x.
Det tredje eksempel: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Vi ganger \ sec x med \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} sådan at \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Vi kan nu “absorbere” \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x, så dx bliver d \ left (\ tan x + \ sec x \ right
Derefter bliver hele ligningen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Vi “absorberer” yderligere \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} i d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) sådan at
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Derfor er det endelige svar \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Det er det samme princip for \ csc x.
Det sidste eksempel: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Da 5 er en konstant, kan “oprette” det ud af luften.
Derfor
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ venstre (x + 5 \ højre)} {x + 5}.
Integrer derefter funktionen som normalt.
Det endelige svar: \ ln | x + 5 | + C .
Denne metode er meget enklere og lettere at forstå.
Svar
Ligesom hvordan der er en kæderegel for differentiering,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f” (g (x))
Der er en “invers kæderegel” for integration.
Med andre ord, hvis du vil integrere en funktion af formularen
\ displaystyle \ int {g “(x) f” (g (x)) dx}
Dens løsning ville være f (g (x)) i henhold til kædereglen til differentiering.
Dette betyder, at du kan generalisere denne teknik til at beregne integraler, hvor der er en eller anden funktion inde i en anden funktion, såsom i en eksponent, inde i en trig-funktion osv. Denne teknik er calle d u-substitution.
Her er et eksempel. Antag at du vil finde følgende integral:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Bemærk, at uden for eksponentialet har du afledningen af hvad ” s inde i eksponenten, nemlig 2x og x ^ 2.
På grund af dette indstiller vi u = x ^ 2. Nu på en eller anden måde kommer afledningen af u ind her, og vi vil have en måde at konvertere vores integral til en integral med hensyn til u med hensyn til u, så vi har brug for en du derinde et eller andet sted. Sådan får vi det:
Bemærk, at
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, så
\ displaystyle du = 2xdx
For at integrere med hensyn til u og have en du i vores integrand, vi har bare brug for 2x gange dx, og det er præcis, hvad vores integrand indeholder!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Bliver følgende med u = x ^ 2 og du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Nu kan vi bare integrere normalt!Bagefter er vi nødt til at erstatte u igen, hvis der er nogen grænser for integration til at plugge.
Her er et andet, mere avanceret eksempel. Find
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
I betragtning af at \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} bliver integralet
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Vi kan indstille u = \ cos (x), da dens afledte bare er sinus (ganget med en konstant, -1), hvilket giver os mulighed for at få vores du derinde. Det betyder, at du = – \ sin (x) dx, så
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Dette kan nu integreres normalt, hvor det endelige svar er – \ ln | \ cos (x ) | + C.