Paras vastaus
Kyllä! Siellä on menetelmä, joka on täsmälleen päinvastainen ketjusäännöstä, kutsun sitä ”absorptiomenetelmäksi”.
Ennakkotieto:
d \ left (f \ left (x \ oikea) \ oikea) = f ”\ vasen (x \ oikea) \, dx
Tässä temppu:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) \ right) g ”\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) ) \ oikea) \ oikea)}
= \ displaystyle f \ vasen (g \ vasen (x \ oikea) \ oikea) + C
Voimme aina tarkistaa vastauksen tekemällä joten:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f ”\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g ”\ left (x \ right)
Tämä tekniikka on erittäin tehokas integraaleja ratkaistaessa.
Ensimmäinen esimerkki: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Voimme arvioida sen näin:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ vasen (2x \, dx \ oikea)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Tällöin dx ”absorboi” 2x: n, sitten dx: stä tulee d \ left (x ^ 2 \ right).
Voimme edelleen ”absorboida” e ^ {x ^ 2} d \ vasempaan (x ^ 2 \ oikea) ja koko yhtälö muuttuu: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ oikea)}
Poista \ int, d ja suluet ja lisää lopuksi C takaosaan, jolloin vastaus näkyy!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Toinen esimerkki: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Tiedämme, että \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, joten kokonaisesta integraalista tulee \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Voimme nyt ”absorboida” \ sin x niin, että dx muuttuu d \ vasemmaksi (- \ cos x \ oikea).
Sitten koko yhtälöstä tulee \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Ota negatiivinen merkki (-) \ int: n eteen ja siitä tulee \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ vasen (\ cos x \ oikea)} {\ cos x}}.
”Imemme” edelleen \ frac 1 {\ cos x} osaksi d \ vasen (\ cos x \ right) siten, että
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ oikea)}.
Siksi lopullinen vastaus on – \ ln | \ cos x | + C tai \ ln | \ sec x | + C. Se on sama periaate \ cot x: lle.
Kolmas esimerkki: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Kerrotaan \ sec x merkillä \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} siten, että \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Voimme nyt ”absorboida” \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x niin, että dx muuttuu d \ vasemmaksi (\ tan x + \ sec x \ right ).
Sitten koko yhtälöstä tulee \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
”Absorboimme” edelleen \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} osaksi d \ vasen (\ tan x + \ sec x \ oikea) siten, että
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ vasen (\ tan x + \ sec x \ oikea)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ vasen (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ oikea)}.
Siksi lopullinen vastaus on \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Se on sama periaate \ csc x: lle.
Viimeinen esimerkki: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Koska 5 on vakio, voi ”luoda” sen tyhjästä.
Siksi
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ vasen (x + 5 \ oikea)} {x + 5}.
Integroi sitten toiminto tavalliseen tapaan.
Viimeinen vastaus: \ ln | x + 5 | + C .
Tämä menetelmä on paljon yksinkertaisempi ja helpommin ymmärrettävissä.
Vastaa
Aivan kuten ketjusääntö erottamiseksi,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g ”(x) f” (g (x))
Siellä on ”käänteinen ketjusääntö” integraatio.
Toisin sanoen, jos haluat integroida muodon funktion
\ displaystyle \ int {g ”(x) f” (g (x)) dx}
Sen ratkaisu olisi f (g (x)), kuten ketjun sääntöä erottamiseksi.
Tämä tarkoittaa, että voit yleistää tämän tekniikan laskeaksesi integraalit missä on funktio toisen funktion sisällä, kuten eksponentissa, trig-toiminnossa jne. Tämä tekniikka on calle d u-korvaaminen.
Tässä on esimerkki. Oletetaan, että haluat löytää seuraavan integraalin:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Huomaa, että eksponentin ulkopuolella sinulla on johdannainen mitä ” s eksponentin sisällä, nimittäin 2x ja x ^ 2.
Tämän vuoksi asetamme u = x ^ 2. Nyt jotenkin u: n johdannainen tulee tänne, ja haluamme tapaa muuntaa integraalimme integraaliksi u: n suhteen u: n suhteen, joten tarvitsemme duin siellä jonnekin. Näin saat sen:
Huomaa, että
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, joten
\ displaystyle du = 2xdx
Jotta integroitumme u: n suhteen ja että sinulla on du integraalissamme, tarvitsemme vain 2x kertaa dx, ja juuri tämä integraalimme sisältää!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Tulee seuraava u = x ^ 2 ja du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Nyt voimme vain integroida normaalisti!Myöhemmin meidän on korvattava u takaisin, jos integrointiin on rajoituksia.
Tässä on toinen edistyneempi esimerkki. Etsi
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Kun otetaan huomioon, että \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, integraaliksi tulee
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Voimme asettaa u = \ cos (x), koska sen johdannainen on vain sini (kerrottuna vakiolla, -1), mikä antaa meille mahdollisuuden saada duemme sinne. Tämä tarkoittaa, että du = – \ sin (x) dx, joten
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Tämä voidaan nyt integroida normaalisti, lopullinen vastaus on – \ ln | \ cos (x ) | + C.