Meilleure réponse
Dans lexpression de 1! à 200 !, tous les nombres seront divisibles par 14 sauf les 6 premiers termes. Pourquoi?
- 14 = 2 \ times 7
- Maintenant 7 nest pas là jusquà 6 !.
Alors, R [\ dfrac {1! + 2! + 3! +… .. + 200!} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!) + (7! + 8! +… .. + 200! )} {14}]
= R [\ frac {(1! + 2! +…. + 6!)} {14}] + R [\ frac {(7! + 8! + … .. + 200!)} {14}]
= R [\ dfrac {(1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720)} {14}] + 0
= R [\ dfrac {873} {14}]
= 5 ( Réponse )
Réponse
Il y a beaucoup de questions de ce genre sur Quora. Ils ne nécessitent généralement pas de connaissances approfondies pour les maîtriser.
La principale chose à retenir est que lexponentiation est cyclique sous un module. Nous devons simplement déterminer la taille de ce cycle, ce qui peut être fait simplement en lessayant.
2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 ( à ce stade, nous pourrions noter que 16 = -1 modulo 17 et arrêter, mais continuons.) 2 ^ 5 = 32 = 15 2 ^ 6 = 2 * 15 = 30 = 13 2 ^ 7 = 2 * 13 = 26 = 9 2 ^ 8 = 2 * 9 = 18 = 1
Maintenant, lautre fait dont nous avons besoin est que x ^ {ab + c} = (x ^ a) ^ bx ^ c. Parce que 2017 = 8 * 252 + 1, 2 ^ {2017} = (2 ^ 8) ^ {252} * 2. En utilisant le calcul ci-dessus, 2 ^ 8 = 1 mod 17, donc 2 ^ {2017} = 1 ^ {252} * 2 = 2 mod 17.
Ensuite, nous en ajoutons un pour obtenir le résultat final, qui est 3.
Supposons que nous voulions simplement calculer la réponse « directement ». Il est possible de faites ceci avec la quadrature répétée — ce qui est utile dans les applications où le module peut être suffisamment grand pour que nous ne terminions même pas un seul cycle. La base de cette technique est que x ^ {2k} = (x ^ k) ^ 2. Représente lexposant en binaire. Chaque fois que le chiffre binaire le plus à gauche est un, nous multiplierons par x. Ensuite, chaque fois que nous passons au chiffre suivant, mettez au carré la valeur actuelle.
Dans ce cas, 2017 = 11111100001b. En prenant chaque chiffre à tour de rôle (et en commençant par la valeur initiale « 1 »):
1: (1 * 2) ^ 2 = 4 1: (4 * 2) ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 13 mod 17 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 1: (13 * 2) ^ 2 = 13 0: 13 ^ 2 = 16 0: 16 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 0: 1 ^ 2 = 1 1: 1 * 2 = 2
Ceci concorde avec notre calcul précédent selon lequel 2 ^ {2017} = 2 mod 17.