Legjobb válasz
Igen! Van egy olyan módszer, amely pontosan megfordítja a láncszabályt, ezt nevezem „abszorpciós módszernek”.
Előzetes tudás:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f “\ left (x \ right) \, dx
Itt a trükk:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) \ right) g “\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
A választ mindig ellenőrizhetjük így:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f “\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g “\ left (x \ right)
Ez a technika nagyon hatékony integrálok megoldásakor.
Az első példa: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Így értékelhetjük:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ bal (2x \, dx \ jobb)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Itt a 2x-et „elnyeli” a dx, majd a dx-ből d \ left (x ^ 2 \ right) lesz.
Az e ^ {x ^ 2} d-balra (x ^ 2 \ jobbra) tovább „be tudja szívni”, és az egész egyenlet: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ jobbra)}
Vegye le az \ int, a d és a zárójeleket, végül adjon hátul egy C-t, majd megjelenik a válasz!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
A második példa: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Tudjuk, hogy \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, így az egész integrál \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx lesz }.
Most már „felvehetjük” a \ sin x-et, így a dx d \ balra (- \ cos x \ jobbra) válik.
Ezután az egész egyenletből \ displaystyle \ lesz int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Vegyük a negatív jelet (-) az \ int elé, és \ displaystyle lesz belőle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
A \ frac 1-et {\ cos x} tovább „felszívjuk” d \ balra (\ cos x \ right) olyan, hogy
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Ezért a végső válasz – \ ln | \ cos x | + C, vagy \ ln | \ sec x | + C. Ugyanez az elv a \ cot x esetében is.
A harmadik példa: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
A \ sec x-et megszorozzuk a \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} úgy, hogy \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Mostantól „felvehetjük” a \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x-et, így a dx d \ bal lesz (\ tan x + \ sec x \ right ).
Ekkor az egész egyenletből \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} lesz.
A \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} d-balra (\ tan x + \ sec x \ right) tovább „felszívjuk”, így
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ bal (\ tan x + \ sec x \ jobb)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ bal (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ jobb)}.
Ezért a végső válasz \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Ugyanez az elv a \ csc x esetében is.
Az utolsó példa: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Mivel az 5 konstans, ezért légtérből „létrehozhatja”.
Ezért
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ balra (x + 5 \ jobbra)} {x + 5}.
Ezután a szokásos módon integrálja a függvényt.
A végső válasz: \ ln | x + 5 | + C .
Ez a módszer sokkal egyszerűbb és könnyebben érthető.
Válasz
Csakúgy, mint a differenciálás láncszabálya,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f” (g (x))
Van egy “inverz láncszabály” a következőre: integráció.
Más szavakkal, ha integrálni kívánja az űrlap függvényét
\ displaystyle \ int {g “(x) f” (g (x)) dx}
Megoldása f (g (x)) lenne, a differenciálás láncszabálya szerint.
Ez azt jelenti, hogy ezt a technikát általánosíthatja integrálok kiszámításához, ahol van valamilyen függvény. egy másik függvényben, például exponensben, egy trigg funkcióban stb. Ez a technika calle d u-helyettesítés.
Íme egy példa. Tegyük fel, hogy a következő integrált szeretné megtalálni:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Ne feledje, hogy az exponenciálon kívül megvan a mi deriváltja ” s az exponensen belül, nevezetesen a 2x és az x ^ 2.
Emiatt beállítjuk az u = x ^ 2 értéket. Most valahogy idejön az u deriváltja, és módot akarunk az átalakításra integrálunk integrálnak az u vonatkozásában az u szempontjából, ezért szükségünk van egy du-ra valahol. Így fogjuk megszerezni:
Vegye figyelembe, hogy
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, tehát
\ displaystyle du = 2xdx
Így annak érdekében, hogy integrálódhassunk u-val és kettővel rendelkezzünk integránsunkban, csak kétszerese kell a dx-nek, és pontosan ezt tartalmazza integránsunk!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
A következővé válik u = x ^ 2 és du = 2xdx használatával:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Most már csak normálisan integrálódhatunk!Utána vissza kell cserélnünk u-t, ha az integrálásnak vannak korlátai az integráláshoz.
Itt van egy újabb, fejlettebb példa. Keresse meg a
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Figyelembe véve, hogy \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, az integrál
\ displaystyle lesz \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Beállíthatjuk az u = \ cos (x) értéket, mivel a deriváltja csak szinusz (szorozva egy konstanssal, -1), amely lehetővé teszi számunkra, hogy bejussunk oda a duónkba. Ez azt jelenti, hogy du = – \ sin (x) dx, tehát
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Ez most már normálisan integrálható, a végső válasz a következő: \ ln | \ cos (x ) | + C.