Beste antwoord
Ja! Er is een methode die precies het omgekeerde is van een kettingregel, ik noem het de “methode van absorptie”.
Voorkennis:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f “\ left (x \ right) \, dx
Hier is de truc:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ left (x \ right) \ right) g “\ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ left (g \ left (x \ right ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
We kunnen het antwoord altijd controleren door dus:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f “\ left (g \ left ( x \ right) \ right) g “\ left (x \ right)
Deze techniek is zeer krachtig bij het oplossen van integralen.
Het eerste voorbeeld: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
We kunnen het als volgt evalueren:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Hier wordt de 2x “geabsorbeerd” door dx, dan wordt dx d \ left (x ^ 2 \ right).
We kunnen de e ^ {x ^ 2} verder absorberen in d \ left (x ^ 2 \ right) en de hele vergelijking wordt: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ right)}
Haal de \ int, de d en de haakjes weg en voeg tenslotte een C toe aan de achterkant, dan wordt het antwoord getoond!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Het tweede voorbeeld: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
We weten dat \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, dus de hele integraal wordt \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
We kunnen nu de \ sin x “absorberen” zodat dx d \ left (- \ cos x \ right) wordt.
Dan wordt de hele vergelijking \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Neem het minteken (-) voor de \ int, en het wordt \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
We absorberen de \ frac 1 {\ cos x} verder in d \ left (\ cos x \ right) zodat
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Daarom is het uiteindelijke antwoord – \ ln | \ cos x | + C, of \ ln | \ sec x | + C. Het is hetzelfde principe voor \ cot x.
Het derde voorbeeld: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
We vermenigvuldigen \ sec x met \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} zodat \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
We kunnen nu de \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x “absorberen” zodat dx d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
De hele vergelijking wordt dan \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
We absorberen de \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} verder in d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) zodat
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Daarom is het uiteindelijke antwoord \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Het is hetzelfde principe voor \ csc x.
Het laatste voorbeeld: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Aangezien 5 een constante is, kan het uit het niets “creëren”.
Daarom,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Integreer vervolgens de functie zoals gewoonlijk.
Het laatste antwoord: \ ln | x + 5 | + C .
Deze methode is veel eenvoudiger en gemakkelijker te begrijpen.
Antwoord
Net zoals er een kettingregel is voor differentiatie,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g “(x) f” (g (x))
Er is een “inverse kettingregel” voor integratie.
Met andere woorden, als je een functie van de vorm wilde integreren
\ displaystyle \ int {g “(x) f” (g (x)) dx}
De oplossing zou f (g (x)) zijn, volgens de kettingregel voor differentiatie.
Dit betekent dat je deze techniek kunt generaliseren om integralen te berekenen als er een functie is binnen een andere functie, zoals in een exponent, binnen een trig-functie, enz. Deze techniek wordt aangeroepen d u-substitutie.
Hier is een voorbeeld. Stel dat je de volgende integraal wilt vinden:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Merk op dat je buiten het exponentieel de afgeleide hebt van wat ” s binnen de exponent, namelijk 2x en x ^ 2.
Daarom stellen we u = x ^ 2 in. Nu komt op de een of andere manier de afgeleide van u hier binnen, en we willen een manier om onze integraal in een integraal in termen van u met betrekking tot u, dus we hebben daar ergens een du nodig. Hier is hoe we het krijgen:
Merk op dat
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, dus
\ displaystyle du = 2xdx
Dus om te integreren met betrekking tot u en een du in onze integrand te hebben, we hebben maar 2x keer dx nodig, en dat is precies wat onze integrand bevat!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Wordt het volgende met u = x ^ 2 en du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Nu kunnen we gewoon gewoon integreren!Daarna moeten we u weer vervangen als er integratielimieten zijn om in te pluggen.
Hier is nog een, geavanceerder voorbeeld. Zoek
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Aangezien \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, wordt de integraal
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
We kunnen u = \ cos (x) instellen omdat de afgeleide ervan slechts sinus is (vermenigvuldigd met een constante, -1), waardoor we onze du erin kunnen krijgen. Dat betekent dat du = – \ sin (x) dx, dus
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Dit kan nu normaal worden geïntegreerd, met als laatste antwoord – \ ln | \ cos (x ) | + C.