Meilleure réponse
Oui! Il y a « une méthode qui » est exactement linverse de la règle de la chaîne, je lappelle la « méthode dabsorption ».
Connaissance préalable:
d \ left (f \ left (x \ right) \ right) = f « \ left (x \ right) \, dx
Voici le truc:
\ displaystyle \ quad \ int {f » \ left (g \ left (x \ right) \ right) g « \ left (x \ right) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f » \ left (g \ left (x \ right) ) \ right) \, d \ left (g \ left (x \ right) \ right)}
= \ displaystyle \ int {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right ) \ right) \ right)}
= \ displaystyle f \ left (g \ left (x \ right) \ right) + C
Nous pouvons toujours vérifier la réponse en faisant donc:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f « \ left (g \ left ( x \ right) \ right) g « \ left (x \ right)
Cette technique est très puissante lors de la résolution des intégrales.
Le premier exemple: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Nous pouvons lévaluer comme ceci:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ Displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Ici, le 2x est «absorbé» par dx, alors dx devient d \ left (x ^ 2 \ right).
On peut encore «absorber» le e ^ {x ^ 2} dans d \ left (x ^ 2 \ right) et toute léquation devient: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ right)}
Enlevez le \ int, le d et les crochets, et enfin ajoutez un C à larrière, puis la réponse est affichée!
ie \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Le deuxième exemple: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Nous savons que \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, donc lintégrale entière devient \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Nous pouvons maintenant «absorber» le \ sin x pour que dx devienne d \ left (- \ cos x \ right).
Ensuite, toute léquation devient \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Prenez le signe négatif (-) devant \ int, et il devient \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Nous «absorbons» davantage le \ frac 1 {\ cos x} dans d \ left (\ cos x \ right) tel que
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Par conséquent, la réponse finale est – \ ln | \ cos x | + C, ou \ ln | \ sec x | + C. Cest le même principe pour \ cot x.
Le troisième exemple: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Nous multiplions \ sec x par \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} tel que \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Nous pouvons maintenant «absorber» le \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x pour que dx devienne d \ left (\ tan x + \ sec x \ right ).
Ensuite, toute léquation devient \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Nous «absorbons» davantage le \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} dans d \ left (\ tan x + \ sec x \ right) de sorte que
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Par conséquent, la réponse finale est \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Cest le même principe pour \ csc x.
Le dernier exemple: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Puisque 5 est une constante, nous peut le «créer» à partir de rien.
Par conséquent,
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ left (x + 5 \ right)} {x + 5}.
Ensuite, intégrez la fonction comme dhabitude.
La réponse finale: \ ln | x + 5 | + C .
Cette méthode est beaucoup plus simple et plus facile à comprendre.
Réponse
Tout comme il existe « une règle de chaîne pour la différenciation,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g « (x) f » (g (x))
Il existe une « règle de chaîne inverse » pour intégration.
En dautres termes, si vous vouliez intégrer une fonction de la forme
\ displaystyle \ int {g « (x) f » (g (x)) dx}
Sa solution serait f (g (x)), selon la règle de la chaîne pour la différenciation.
Cela signifie que vous pouvez généraliser cette technique pour calculer des intégrales là où il y a une fonction à lintérieur dune autre fonction, comme dans un exposant, à lintérieur dune fonction trigonométrique, etc. Cette technique est appelée calle d u-substitution.
Voici un exemple. Supposons que vous vouliez trouver lintégrale suivante:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Notez quen dehors de lexponentielle, vous avez la dérivée de quoi » s à lintérieur de lexposant, à savoir 2x et x ^ 2.
Pour cette raison, nous allons définir u = x ^ 2. Maintenant, dune manière ou dune autre, le dérivé de u entre ici, et nous voulons un moyen de convertir notre intégrale dans une intégrale en termes de u par rapport à u, donc nous avons besoin dun du quelque part. Voici comment nous allons lobtenir:
Notez que
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, donc
\ displaystyle du = 2xdx
Ainsi, afin dintégrer par rapport à u et davoir un du dans notre intégrande, nous avons juste besoin de 2x fois dx, et cest exactement ce que contient notre intégrande!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Devient le suivant avec u = x ^ 2 et du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Maintenant, nous pouvons simplement intégrer normalement!Ensuite, nous devons remplacer u sil y a des limites dintégration à brancher.
Voici un autre exemple plus avancé. Trouvez
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Considérant que \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)}, lintégrale devient
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
On peut définir u = \ cos (x) puisque sa dérivée est juste sinus (multipliée par une constante, -1), ce qui nous permet d’y mettre notre du. Cela signifie que du = – \ sin (x) dx, donc
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Ceci peut maintenant être intégré normalement, la réponse finale étant – \ ln | \ cos (x ) | + C.