Bästa svaret
Ja! Det finns en metod som exakt är det omvända av kedjeregeln, jag kallar det ”absorptionsmetoden”.
Förkunskaper:
d \ left (f \ left (x \ höger) \ höger) = f ”\ vänster (x \ höger) \, dx
Här är tricket:
\ displaystyle \ quad \ int {f” \ left (g \ vänster (x \ höger) \ höger) g ”\ vänster (x \ höger) \, dx}
= \ displaystyle \ int {f” \ vänster (g \ vänster (x \ höger) ) \ höger) \, d \ vänster (g \ vänster (x \ höger) \ höger)}
= \ displaystyle \ int {d \ vänster (f \ vänster (g \ vänster (x \ höger)) ) \ höger) \ höger)}
= \ displaystyle f \ vänster (g \ vänster (x \ höger) \ höger) + C
Vi kan alltid kontrollera svaret genom att göra så:
\ displaystyle \ frac {d \ left (f \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right)} {dx} = f ”\ left (g \ left ( x \ höger) \ höger) g ”\ vänster (x \ höger)
Denna teknik är mycket kraftfull när man löser integraler.
Det första exemplet: \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
Vi kan utvärdera det så här:
\ quad \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} \, dx}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ left (2x \, dx \ right)}
= \ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} \ , d \ left (x ^ 2 \ right)}
Här “absorberas” 2x av dx, sedan blir dx d \ left (x ^ 2 \ right).
Vi kan ytterligare ”absorbera” e ^ {x ^ 2} i d \ vänster (x ^ 2 \ höger) och hela ekvationen blir: \ displaystyle \ int {d \ left (e ^ {x ^ 2} \ höger)}
Ta bort \ int, d och parenteserna och lägg slutligen till ett C på baksidan, då visas svaret!
dvs. \ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx} = e ^ {x ^ 2} + C.
Det andra exemplet: \ displaystyle \ int {\ tan x \, dx}
Vi vet att \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, så hela integralen blir \ displaystyle \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x} \, dx }.
Vi kan nu ”absorbera” \ sin x så att dx blir d \ vänster (- \ cos x \ höger).
Då blir hela ekvationen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (- \ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Ta negativtecken (-) framför \ int, och det blir \ displaystyle – \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}}.
Vi ”absorberar” vidare \ frac 1 {\ cos x} till d \ left (\ cos x \ höger) så att
\ displaystyle- \ int {\ frac {d \ left (\ cos x \ right)} {\ cos x}} = – \ int {d \ left (\ ln | \ cos x | \ right)}.
Därför är det slutliga svaret – \ ln | \ cos x | + C, eller \ ln | \ sek x | + C. Det är samma princip för \ cot x.
Det tredje exemplet: \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx}
Vi multiplicerar \ sec x med \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ tan x + \ sec x} så att \ displaystyle \ int {\ sec x \, dx} = \ displaystyle \ int {\ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ tan x + \ sec x} \, dx}.
Nu kan vi ”absorbera” \ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x så att dx blir d \ left (\ tan x + \ sec x \ right
Då blir hela ekvationen \ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}}.
Vi ”absorberar” vidare \ frac 1 {\ tan x + \ sec x} i d \ vänster (\ tan x + \ sec x \ höger) så att
\ displaystyle \ int {\ frac {d \ left (\ tan x + \ sec x \ right)} {\ tan x + \ sec x}} = \ int {d \ left (\ ln | \ tan x + \ sec x | \ right)}.
Därför är det slutliga svaret \ ln | \ tan x + \ sec x | + C. Det är samma princip för \ csc x.
Det sista exemplet: \ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}}
Eftersom 5 är en konstant, kan ”skapa” det ur luften.
Därför
\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x + 5}} = \ int \ frac {d \ vänster (x + 5 \ höger)} {x + 5}.
Integrera sedan funktionen som vanligt.
Det slutliga svaret: \ ln | x + 5 | + C .
Den här metoden är mycket enklare och lättare att förstå.
Svar
Precis som hur det finns en kedjeregel för differentiering,
\ displaystyle \ dfrac {d} {dx} f (g (x)) = g ”(x) f” (g (x))
Det finns en ”invers kedjeregel” för integration.
Med andra ord, om du vill integrera en funktion i formuläret
\ displaystyle \ int {g ”(x) f” (g (x)) dx}
Dess lösning skulle vara f (g (x)) enligt kedjeregeln för differentiering.
Detta innebär att du kan generalisera denna teknik för att beräkna integraler där det finns någon funktion inuti en annan funktion, som i en exponent, inuti en trig-funktion, etc. Denna teknik är calle d u-substitution.
Här är ett exempel. Antag att du vill hitta följande integral:
\ displaystyle \ int {2xe ^ {x ^ 2} dx}
Observera att utanför exponentialen har du derivatet av vad ” s inuti exponenten, nämligen 2x och x ^ 2.
På grund av detta ställer vi in u = x ^ 2. Nu på något sätt kommer derivatet av u in här och vi vill ha ett sätt att konvertera vår integral till en integral i termer av u med avseende på u, så vi behöver en du där inne någonstans. Så här får vi det:
Observera att
\ displaystyle \ dfrac {du} {dx} = 2x, så
\ displaystyle du = 2xdx
Således, för att integrera med avseende på u och ha en du i vår integrand, vi behöver bara 2x gånger dx, och det är precis vad vår integrand innehåller!
\ displaystyle \ int {e ^ {x ^ 2} (2xdx)}
Blir följande med u = x ^ 2 och du = 2xdx:
\ displaystyle \ int {e ^ {u} du}
Nu kan vi bara integrera normalt!Efteråt måste vi ersätta u igen om det finns några gränser för integration för att plugga in.
Här är ett annat, mer avancerat exempel. Hitta
\ displaystyle \ int {\ tan (x) dx}
Med tanke på att \ tan (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} blir integralen
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} dx}
Vi kan ställa in u = \ cos (x) eftersom dess derivat bara är sinus (multiplicerat med en konstant, -1), vilket gör att vi kan få vår du där. Det betyder att du = – \ sin (x) dx, så
\ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sin (x)} { \ cos (x)} dx} = \ int {\ dfrac {-1} {u} du}
Detta kan nu integreras normalt, med det slutliga svaret – \ ln | \ cos (x ) | + C.